Problema di Cauchy con antitrasformata di Laplace

[carroarmatokingtiger]

Salve, vorrei capire l'errore che commetto nel risolvere il problema di Cauchy con antitrasformata di Laplace.
Questo è il testo:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20y%27%27-y%27+6y%3Df%28t%29%20%5C%5Cy%280%29%3D0%20%5C%5Cy%27%280%29%3D-1%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright%20f%28t%29%3D%5Cleft%5C%7B%5Cbegin%7Bmatrix%7D%20t%20%26%200%3Ct%3C%5Cpi%20/2%5C%5C%20sen%20t%20%26%20t%3E%20%5Cpi%20/2%20%5Cend%7Bmatrix%7D%5Cright.[/img]
Elencando i passaggi risolutivi:
[img]http://latex.codecogs.com/gif.latex?f%28t%29%3Dt%28u%28t%29-u%28t-%5Cpi/2%29%29%20+%20t%20sen%20t%28u%28t-%5Cpi/2%29%29%20%5C%5C%20f%28t%29%3Dt%28u%28t%29%29-tu%28t-%5Cpi/2%29+tsent%28u-%5Cpi/2%29%29%20%5C%5C%20L%28f%28t%29%29%3D1/s%5E2%20-%20e%5E%7B%28%5Cpi/2%29s%7D1/s%5E2%20+%20tsen%28t+%5Cpi/2%20-%20%5Cpi/2%29%20u%28u-%5Cpi/2%29%20%5C%5C%20L%28f%28t%29%29%3D1/s%5E2%20-%20e%5E%7B%28%5Cpi/2%29s%7D1/s%5E2%20+%20e%5E%7B%28%5Cpi/2%29s%7D%20tsen%28t+%5Cpi/2%29u%28t%29%20%5C%5C%20L%28f%28t%29%29%3D1/s%5E2%20-%20e%5E%7B%28%5Cpi/2%29s%7D1/s%5E2%20+%20e%5E%7B%28%5Cpi/2%29s%7D%20tcos%28t%29u%28t%29%20%5C%5C%20L%28f%28t%29%29%3D1/s%5E2%20-%20e%5E%7B%28%5Cpi/2%29s%7D1/s%5E2%20+%20e%5E%7B%28%5Cpi/2%29s%7D%20%28%5Cfrac%7Bd%28s/s%5E2+1%29%7D%7Bds%7D%29%20%5C%5C%20L%28f%28t%29%29%3D1/s%5E2%20-%20e%5E%7B%28%5Cpi/2%29s%7D1/s%5E2%20+%20e%5E%7B%28%5Cpi/2%29s%7D%20%28%5Cfrac%20%7B-s%5E2+1%7D%7B%28s%5E2+1%29%5E2%7D%29[/img]
Il passaggio dalle derivate alle trasformate è semplice, proseguendo però non riesco a ricavare nulla di risolvibile (rimangono gli esponenziali che non mi permettono la scomposizione in razionali parziali)

[carroarmatokingtiger]

up

[ciampax]

Fai un po' di confusione: ricorda che la regola utile per le trasformate di Laplace quando sei in presenza di uno scalino è la seguente
$$L[f(t-a)\cdot u(t-a)](s)=e^{-as}\cdot L[f(t)](s)$$
Quindi conviene scrivere
$$f(t)=t\cdot[u(t)-u(t-\pi/2)]+\sin t\cdot u(t-\pi/2)=\\ t\cdot u(t)-(t-\pi/2)\cdot u(t-\pi/2)-\pi/2\cdot u(t-\pi/2)+\cos(t-\pi/2)\cdot u(t-\pi/2)$$
e pertanto
$$L[f(t)](s)=L[t](s)-e^{-\pi/2 s}\cdot L[t](s)-\pi/2\cdot e^{-\pi/2 s}\cdot L[1](s)+e^{-\pi/2 s}\cdot L[\cos t](s)=\\ \frac{1}{s}-\frac{e^{-\pi/2 s}}{s}-\frac{\pi e^{-\pi/2 s}}{2s}+\frac{e^{-\pi/2 s}\cdot s}{s^2+1}$$