Problema di Cauchy - Analisi Qualitativa
Ciao ragazzi,
sto affrontando lo studio di un problema di Cauchy in modo qualitativo. Riporto il testo completo:
$\text{Consideriamo il problema di Cauchy:}$
\begin{equation}
\begin{cases}
y' = \frac{ \tan {y}}{{1 + y^2}} \\ \\ y(0)=y_0
\end{cases}
\end{equation}
$\text{a)Mostrare che vale esistenza ed unicità locale e determinare, se esistono, soluzioni costanti.}$
$\text{b)Determinare le regioni di}$ $D$ $\text{nelle quali le soluzioni sono crescenti e quelle nelle quali sono decrescenti.}$ $\text{Sia ora }\phi : (\alpha;\beta) \rightarrow \mathbb{R}\text{ la soluzione massimale relativa ad } y_0 \in (0;\frac{\pi}{2}).$
$\text{c)Mostrare che }\phi\text{ è monotona; dedurne che}$ $\alpha=-infty$ $\text{e calcolare}$ $\phi(-infty).$
$\text{d)Mostrare che}$ $\beta<+infty$ $\text{e dedurre}$ $\phi(beta-).$
$\text{e)Mostrare che}$ $\phi\in C^2$ $\text{e determinare}$ $\text{la concavità di}$ $\phi.$
$\text{f)Ritrovare che}$ $\beta<+infty$ $\text{e dedurne una stima.}$
$\text{g)Tracciare un grafico qualitativo di }\phi.$
Io ho cominciato in questo modo in questo modo:
a)
$F(t,y):= \frac{ \tan y}{1 + y^2} $
$D:= ]-infty;+infty[\times{ \mathbb{R} \\{\frac{\pi}{2}+k\pi} : k\in\mathbb{Z}} $
è il dominio di definizione della mia $F(t,y)$, e si vede che essa e la sua derivata sono continue nel dominio $D$.
Allora vale esistenza ed unicità locale.
Per le soluzioni costanti, ovvero $y=C => y'=0 <=> \frac{ \tan C}{1 + C^2}=0 <=> C=k\pi, k\in\mathbb{Z}$
b) Le soluzioni crescenti sono quelle per le quali $y'>=0$
$ I:= \cup I_k : I_k = [k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi) : k\in\mathbb{Z} => \phi \text{ crescente su } I$
c) Se $\phi$ non fosse monotona su $(0;\frac{\pi}{2}) => \exists t_1|\phi(t_1)<=0 => \exists t_2|\phi(t_2)=0 $
Ma allora $\phi\equivC$ in $t=t_2$, e nell'intervallo richiesto, $\phi\equiv0$ che è assurdo perchè $\phi(0)=y_0>0 .$
D'altra parte NON $\exists t_3 | \phi(t)>=\frac{\pi}{2}$ altrimenti $\exsist t_4 | \phi(t_4)=\frac{\pi}{2}$, ma allora $\(t_4;\phi(t_4))\notin D $
Ora siccome $\phi$ è monotona crescente $\exists lim_{t->\alpha^+}\phi(t)=l$, e siccome $0<\phi(t)<\frac{\pi}{2} => 0<=l<=\frac{\pi}{2} $
Supponiamo $\alpha>\-infty$. Prendo un compatto K:
$K:=[\alpha;0]\times[l;y_0] => (t,\phi(t)) \inK\forall t<0$
La soluzione non uscirebbe mai nel passato e quindi contraddice la fuga dai compatti. Allora $\alpha=-\infty$.
Ora, come mostro che $l=0$ ? $l=0 \vee l>0$ ed intuitivamente, essendo la $\phi(t) \in (0;\frac{\pi}{2})$ è chiaro che $l$ sarà l'$\text{inf}(0;\frac{\pi}{2})$ per $t\to-\infty$ perchè la funzione è monotona crescente.
Sulle dispense del mio prof ho trovato questa risposta:
$\text{Passando al limite per}$ $t\to-\infty$ $\text{abbiamo}$ $\phi'\to\frac{tan l}{1+l^2}$
$\text{E' evidente che essendo anche }$ $\phi\tol$ $\text{ per }$ $t\to-\infty$ $\text{non può essere }$ $\frac{tan l}{1+l^2}\ne0$ $\text{Questo segue da un piccolo fatto generale: }$
$\text{PROPOSIZIONE: Sia}$ $\phi\inC^1 : lim_{t->\pm\infty}\phi(t)=l, lim_{t->\pm\infty}\phi'(t)=l', \text{con } l,l' \in\mathbb{R^d} => l'=0$
$\text{Dim: infatti}$ $0=lim_{t->\pm\infty}\frac{phi(t)}{t} = (H) = lim_{t->\pm\infty}\phi'(t)=l' $
Cioè in pratica se io ho una funzione $f(x)$ limitata con queste caratteristiche (tipo una tangente, ma ad esempio non vanno bene un seno o un coseno perchè a $-\infty$ non esiste finito il limite considerato), il limite per $x\to\pm\infty$ della sua derivata e nullo, cioè la derivata tende ad essere una retta orizzontale?
Spero di essermi spiegato al meglio.
Penso per il punto successivo che il discorso sia analogo, ma volevo capire bene come procedere quando mi trovo in una situazione come questa.
Grazie a tutti.
sto affrontando lo studio di un problema di Cauchy in modo qualitativo. Riporto il testo completo:
$\text{Consideriamo il problema di Cauchy:}$
\begin{equation}
\begin{cases}
y' = \frac{ \tan {y}}{{1 + y^2}} \\ \\ y(0)=y_0
\end{cases}
\end{equation}
$\text{a)Mostrare che vale esistenza ed unicità locale e determinare, se esistono, soluzioni costanti.}$
$\text{b)Determinare le regioni di}$ $D$ $\text{nelle quali le soluzioni sono crescenti e quelle nelle quali sono decrescenti.}$ $\text{Sia ora }\phi : (\alpha;\beta) \rightarrow \mathbb{R}\text{ la soluzione massimale relativa ad } y_0 \in (0;\frac{\pi}{2}).$
$\text{c)Mostrare che }\phi\text{ è monotona; dedurne che}$ $\alpha=-infty$ $\text{e calcolare}$ $\phi(-infty).$
$\text{d)Mostrare che}$ $\beta<+infty$ $\text{e dedurre}$ $\phi(beta-).$
$\text{e)Mostrare che}$ $\phi\in C^2$ $\text{e determinare}$ $\text{la concavità di}$ $\phi.$
$\text{f)Ritrovare che}$ $\beta<+infty$ $\text{e dedurne una stima.}$
$\text{g)Tracciare un grafico qualitativo di }\phi.$
Io ho cominciato in questo modo in questo modo:
a)
$F(t,y):= \frac{ \tan y}{1 + y^2} $
$D:= ]-infty;+infty[\times{ \mathbb{R} \\{\frac{\pi}{2}+k\pi} : k\in\mathbb{Z}} $
è il dominio di definizione della mia $F(t,y)$, e si vede che essa e la sua derivata sono continue nel dominio $D$.
Allora vale esistenza ed unicità locale.
Per le soluzioni costanti, ovvero $y=C => y'=0 <=> \frac{ \tan C}{1 + C^2}=0 <=> C=k\pi, k\in\mathbb{Z}$
b) Le soluzioni crescenti sono quelle per le quali $y'>=0$
$ I:= \cup I_k : I_k = [k\pi;\frac{\pi}{2}+k\pi) : k\in\mathbb{Z} => \phi \text{ crescente su } I$
c) Se $\phi$ non fosse monotona su $(0;\frac{\pi}{2}) => \exists t_1|\phi(t_1)<=0 => \exists t_2|\phi(t_2)=0 $
Ma allora $\phi\equivC$ in $t=t_2$, e nell'intervallo richiesto, $\phi\equiv0$ che è assurdo perchè $\phi(0)=y_0>0 .$
D'altra parte NON $\exists t_3 | \phi(t)>=\frac{\pi}{2}$ altrimenti $\exsist t_4 | \phi(t_4)=\frac{\pi}{2}$, ma allora $\(t_4;\phi(t_4))\notin D $
Ora siccome $\phi$ è monotona crescente $\exists lim_{t->\alpha^+}\phi(t)=l$, e siccome $0<\phi(t)<\frac{\pi}{2} => 0<=l<=\frac{\pi}{2} $
Supponiamo $\alpha>\-infty$. Prendo un compatto K:
$K:=[\alpha;0]\times[l;y_0] => (t,\phi(t)) \inK\forall t<0$
La soluzione non uscirebbe mai nel passato e quindi contraddice la fuga dai compatti. Allora $\alpha=-\infty$.
Ora, come mostro che $l=0$ ? $l=0 \vee l>0$ ed intuitivamente, essendo la $\phi(t) \in (0;\frac{\pi}{2})$ è chiaro che $l$ sarà l'$\text{inf}(0;\frac{\pi}{2})$ per $t\to-\infty$ perchè la funzione è monotona crescente.
Sulle dispense del mio prof ho trovato questa risposta:
$\text{Passando al limite per}$ $t\to-\infty$ $\text{abbiamo}$ $\phi'\to\frac{tan l}{1+l^2}$
$\text{E' evidente che essendo anche }$ $\phi\tol$ $\text{ per }$ $t\to-\infty$ $\text{non può essere }$ $\frac{tan l}{1+l^2}\ne0$ $\text{Questo segue da un piccolo fatto generale: }$
$\text{PROPOSIZIONE: Sia}$ $\phi\inC^1 : lim_{t->\pm\infty}\phi(t)=l, lim_{t->\pm\infty}\phi'(t)=l', \text{con } l,l' \in\mathbb{R^d} => l'=0$
$\text{Dim: infatti}$ $0=lim_{t->\pm\infty}\frac{phi(t)}{t} = (H) = lim_{t->\pm\infty}\phi'(t)=l' $
Cioè in pratica se io ho una funzione $f(x)$ limitata con queste caratteristiche (tipo una tangente, ma ad esempio non vanno bene un seno o un coseno perchè a $-\infty$ non esiste finito il limite considerato), il limite per $x\to\pm\infty$ della sua derivata e nullo, cioè la derivata tende ad essere una retta orizzontale?
Spero di essermi spiegato al meglio.
Penso per il punto successivo che il discorso sia analogo, ma volevo capire bene come procedere quando mi trovo in una situazione come questa.
Grazie a tutti.
Risposte
se ho capito bene, i tuoi dubbi sono sul punto c) ;provo a dire la mia
prima di tutto,a me sembra che tu abbia già dimostrato in precedenza che la soluzione è crescente in $(0,pi/2)$ : quindi non è mi è chiaro perchè sei ritornato sul discorso nelle prime righe
poi,a $-infty$ il limite deve essere per forza zero perchè se fosse $l>0$ avresti l'assurdo di avere un asintoto orizzontale ed una derivata che non tende a zero
inoltre,mi sembra che tu non abbia scritto esplicitamente quanto vale $ lim_(t -> beta^-)phi $
anche qui ,penso che non ci siano serie alternative al valore $pi/2$
perchè poi la funzione non sia prolungabile a $+infty$ me lo spiego in modo analogo a quanto fatto prima: in tal caso la retta $y=pi/2$ sarebbe asintoto orizzontale ma con una derivata che tenderebbe a $+infty$
prima di tutto,a me sembra che tu abbia già dimostrato in precedenza che la soluzione è crescente in $(0,pi/2)$ : quindi non è mi è chiaro perchè sei ritornato sul discorso nelle prime righe
poi,a $-infty$ il limite deve essere per forza zero perchè se fosse $l>0$ avresti l'assurdo di avere un asintoto orizzontale ed una derivata che non tende a zero
inoltre,mi sembra che tu non abbia scritto esplicitamente quanto vale $ lim_(t -> beta^-)phi $
anche qui ,penso che non ci siano serie alternative al valore $pi/2$
perchè poi la funzione non sia prolungabile a $+infty$ me lo spiego in modo analogo a quanto fatto prima: in tal caso la retta $y=pi/2$ sarebbe asintoto orizzontale ma con una derivata che tenderebbe a $+infty$
Sono tornato sulle prime righe per dimostrare la monotonia. Infatti sebbene prima ho trovato che è una funzione crescente, ciò non implica che essa sia monotona. Quindi ho dimostrato che in quell'intervallo è monotona crescente dicendo che non ci sono punti in cui è "piatta".
Comunque il resto tutto chiaro. Quindi ragiono sul fatto che la derivata a $\infty$ deve produrre un asintoto orizzontale, ovvero deve tendere a 0.
Grazie infinite
Comunque il resto tutto chiaro. Quindi ragiono sul fatto che la derivata a $\infty$ deve produrre un asintoto orizzontale, ovvero deve tendere a 0.
Grazie infinite
a meno di una mia svista(possibilissima),direi che una funzione strettamente crescente è monotona
non sempre vale il viceversa, perchè una funzione può essere monotona decrescente o monotona crescente ma non strettamente
non sempre vale il viceversa, perchè una funzione può essere monotona decrescente o monotona crescente ma non strettamente
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