Problema di Cauchy al variare di un parametro

[Ingy]

Salve a tutti! Ho dei dubbi su questo problema, devo studiare il problema di Cauchy al variare del parametro p>0 e determinare in dipendenza di p il massimo intervallo su cui la soluzione esiste
$ { ( y'=|y|^p ),( y(0)=1 ):} $

Io ho cercato di risolverlo così:
-per p=1 y(x)=e^x per ogni x

Ho risolto il problema di Cauchy in questo modo:
$ int_(0)^(x) (y'(t))/(y(t)^2)^(p/2)dt=x $
che risulta
$ y(x)=[x(1-p)+1]^(1/(1-p) $

A questo punto studio il parametro p:
-per p>1 mi verrà un'esponente negativo, quindi devo vedere che la mia funzione sia diversa da 0, quindi $ x!= 1/(p-1) $
Qui sono in dubbio, c'è altro che devo fare? Non penso che abbia senso studiare cosa succede se l'esponente è pari o dispari... quindi dire che per p>1 l'intervallo esiste su R con $ x!= 1/(p-1) $

-per 0
Ho un po' di dubbi riguardo a cosa succede se l'esponente è pari o dispari, cioè se mi cambia il dominio.

Grazie dell'attenzione!

[quantunquemente]

per $p=1$,la soluzione del problema di Cauchy è globale
$ { ( y'=|y| ),( y(0)=1 ):} $
ha come soluzione la funzione $y=e^x$

[Ingy]

sì questo l'ho scritto... è per i passaggi successivi che ho dubbi

[quantunquemente]

sì,scusa,avevo interpretato male l'esercizio : avevo capito la $p$ per la quale l'intevallo massimale è il più grande di tutti

la soluzione si può scrivere nella forma
$y^(1-p)=(1-p)x+1$
il ragionamento che mi viene da fare è il seguente : la soluzione deve mantenersi sempre positiva perchè non può intersecare la soluzione stazionaria $y=0$

quindi,analizzerei la disequazione $(1-p)x+1>0$ nei casi a) $01$

[Ingy]

hai ragione non ci avevo pensato! grazie