Problema di Cauchy

[vale.124911]

Salve a tutti ho un po' di problemi a finire di risolvere questi problemi di cauchy potete aiutarmi???
1. Determinare i valore del parametro reale k per cui esistono soluzioni dell'equazione differenziale:
\(\displaystyle y'' - 2ky' + (k^2 + 4)y = 0 \)
soddisfacenti le condizioni \(\displaystyle y(0) = 0 ; \) $ lim_(x -> +oo) y(x) = 0 $


Fino al limite dei prossimi due esercizi penso di averlo eseguito correttamente il problema non so come andare avanti...Sapreste aiutarmi??
2. Determinare per quali valori di a e b la soluzione del problema di Cauchy:
\(\displaystyle y'' - y = x \)
\(\displaystyle y(0) = a \)
\(\displaystyle y'(0) = b \)
soddisfa la condizione
$ lim_(x -> +oo)y(x) = +oo $


3. Determinare per quali valori di a e b la soluzione del problema di Cauchy:
\(\displaystyle y'' - y = x^2 - x \)
\(\displaystyle y(0) = a \)
\(\displaystyle y'(0) = b \)
soddisfa la condizione
$ lim_(x -> -oo)y(x) = +oo $



4. Data l'equazione differenziale
\(\displaystyle y'' + 2 y' - 3 y = 4 \)$ e^{-2x} $
determinare le eventuali soluzioni y per cui $ int_(0)^(+oo ) y(t) dt=0 $


5. Data l'equazione differenziale
\(\displaystyle y'' + 4 y = \)$ e^{-3x} $
determinare le eventuali soluzioni y per cui $ int_(0)^(+oo ) y(t) dt=0 $


6. Data l'equazione differenziale
\(\displaystyle y'' + 3 y' = 2 \) $ e^{-2x} $
determinare le eventuali soluzioni y per cui $ int_(0)^(+oo ) y(t) dt=0 $


Attendo vostre indicazioni e...GRAZIE MILLE ancora!

[Camillo]

Dovresti riscrivere i tuoi passaggi usando le formule(vedi sopra nel riquadro rosa) in modo che sia leggibile, altrimenti è molto difficoltoso capire quello che hai scritto.
Comunque per il primo esercizio la soluzione generale della equazione è:

$y(x)=c_1 e^(kx) cos(2x)+c_2e^(kx)sin(2x) $ *** tu hai dimenticato la $x $ in $e^(kx)$.
Imponendo la condizione iniziale $y(0)=0 $ si ottiene che $c_1=0 $ e quindi la soluzione del PdC è $y(x) = c_2e^(kx)sin(2x)$.

Perchè sia $lim_( x rarr +oo) y(x)=0 $ deve essere $k<0$. OK ?

[vale.124911]

Grazie!