Problema di Cauchy!
Salve a tutti sono nuova e ancora non sono molto pratica del sito ma spero che mi possiate dare una mano e soprattutto un occhio ai seguenti problemi di cauchy che ho provato a svolgere:
1. \(\displaystyle y' = \frac {1 - y^2}{xy} \)
\(\displaystyle y (1) = 2 \)
ho pensato di risolvere (sia questo che l'altro!) con il metodo delle variabili separate....quindi sono andata avanti così
\(\displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac {1 - y^2}{y} \frac {1}{x} \)
\(\displaystyle \frac {1 - y^2}{y} dy = \frac {1}{x} dx \)
$ int_()^() frac {1 - y^2}{y} dy $ = $ int_()^() frac {1}{x} dx $
$ int_()^() frac {1 - y^2}{y} dy $ = \(\displaystyle \frac {1}{2} ln (1 - y^2) \)
$ int_()^() frac {1}{x} dx $ = \(\displaystyle ln x + c \)
\(\displaystyle \frac {1}{2} ln (1 - y^2) \) = \(\displaystyle ln x + c \)
da cui ottengo \(\displaystyle y = \)$ sqrt(1 - x^2 - e^{2c}) $
sostituendo quindi con i dati forniti dal testo ottengo che \(\displaystyle c = \frac {-ln 4}{2} \)
e quindi \(\displaystyle y = $ sqrt(\frac {3}{4} - x^2) $ \)
Può andare??
Passiamo al secondo problema:
2. \(\displaystyle y' = \frac {1 - x^2}{xy} \)
\(\displaystyle y (- 1) = 2 \)
\(\displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac {1 - x^2}{x} \frac {1}{y} \)
\(\displaystyle y dy = \frac {1 - x^2}{x} dx \)
$ int_()^() frac {1 - x^2}{x} dx $ = $ int_()^() y dy $
$ int_()^() frac {1 - x^2}{x} dx $ = \(\displaystyle log x - \frac {1}{2} x^2 + c \)
$ int_()^() frac {1}{x} dx $ = \(\displaystyle \frac {1}{2} y^2 \)
\(\displaystyle log x - \frac {1}{2} x^2 + c \) = \(\displaystyle \frac {1}{2} y^2 \)
da cui ottengo \(\displaystyle y = \)$ sqrt(2 ln x - x^2 + 2c) $
sostituendo quindi con i dati forniti dal testo ottengo che \(\displaystyle c = \frac {5}{4} \)
e quindi \(\displaystyle y = $ sqrt(2 ln x - x^2 +5) $ \)
Il secondo esercizio mi sembra che sia perlopiù corretto...Ho invece qualche dubbio sul primo....
Fatemi sapere la vostra opinione!Grazie mille!!
1. \(\displaystyle y' = \frac {1 - y^2}{xy} \)
\(\displaystyle y (1) = 2 \)
ho pensato di risolvere (sia questo che l'altro!) con il metodo delle variabili separate....quindi sono andata avanti così
\(\displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac {1 - y^2}{y} \frac {1}{x} \)
\(\displaystyle \frac {1 - y^2}{y} dy = \frac {1}{x} dx \)
$ int_()^() frac {1 - y^2}{y} dy $ = $ int_()^() frac {1}{x} dx $
$ int_()^() frac {1 - y^2}{y} dy $ = \(\displaystyle \frac {1}{2} ln (1 - y^2) \)
$ int_()^() frac {1}{x} dx $ = \(\displaystyle ln x + c \)
\(\displaystyle \frac {1}{2} ln (1 - y^2) \) = \(\displaystyle ln x + c \)
da cui ottengo \(\displaystyle y = \)$ sqrt(1 - x^2 - e^{2c}) $
sostituendo quindi con i dati forniti dal testo ottengo che \(\displaystyle c = \frac {-ln 4}{2} \)
e quindi \(\displaystyle y = $ sqrt(\frac {3}{4} - x^2) $ \)
Può andare??
Passiamo al secondo problema:
2. \(\displaystyle y' = \frac {1 - x^2}{xy} \)
\(\displaystyle y (- 1) = 2 \)
\(\displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac {1 - x^2}{x} \frac {1}{y} \)
\(\displaystyle y dy = \frac {1 - x^2}{x} dx \)
$ int_()^() frac {1 - x^2}{x} dx $ = $ int_()^() y dy $
$ int_()^() frac {1 - x^2}{x} dx $ = \(\displaystyle log x - \frac {1}{2} x^2 + c \)
$ int_()^() frac {1}{x} dx $ = \(\displaystyle \frac {1}{2} y^2 \)
\(\displaystyle log x - \frac {1}{2} x^2 + c \) = \(\displaystyle \frac {1}{2} y^2 \)
da cui ottengo \(\displaystyle y = \)$ sqrt(2 ln x - x^2 + 2c) $
sostituendo quindi con i dati forniti dal testo ottengo che \(\displaystyle c = \frac {5}{4} \)
e quindi \(\displaystyle y = $ sqrt(2 ln x - x^2 +5) $ \)
Il secondo esercizio mi sembra che sia perlopiù corretto...Ho invece qualche dubbio sul primo....
Fatemi sapere la vostra opinione!Grazie mille!!
Risposte
"vale.12491":
Salve a tutti sono nuova e ancora non sono molto pratica del sito ma spero che mi possiate dare una mano e soprattutto un occhio ai seguenti problemi di cauchy che ho provato a svolgere:
1. \(\displaystyle y' = \frac {1 - y^2}{xy} \)
\(\displaystyle y (1) = 2 \)
ho pensato di risolvere (sia questo che l'altro!) con il metodo delle variabili separate....quindi sono andata avanti così
\(\displaystyle \frac {dy}{dx} = \frac {1 - y^2}{y} \frac {1}{x} \)
\(\displaystyle \frac {1 - y^2}{y} dy = \frac {1}{x} dx \)
Guarda qui.
Ho sbagliato a trascrivere qui...quindi mi viene:
$ int_()^() frac{y}{1-y^2} $ però il risultato non cambia perchè il resto mi sembra di averlo copiato bene!
$ int_()^() frac{y}{1-y^2} $ però il risultato non cambia perchè il resto mi sembra di averlo copiato bene!
"vale.12491":Qui manca un segno meno
$ int_()^() frac {1 - y^2}{y} dy $ = \(\displaystyle \frac {1}{2} ln (1 - y^2) \)
"Gi8":Qui manca un segno meno[/quote]
[quote="vale.12491"]$ int_()^() frac {1 - y^2}{y} dy $ = \(\displaystyle \frac {1}{2} ln (1 - y^2) \)
Grazie di aver trovato l'errore ora mi sembra torni anche questo!!
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