Problema di Cauchy....
Carissimi ragazzi ho il seguente problema di Cauchy:
$ { ( y'=xy+xy^3 ),( y(0)=1/2 ):} $ di cui mi vien chiesto di calcolarne la soluzione. L'equazione differenziale ivi presente l'ho risolta al modo delle "equazioni di Bernoulli"; ciò che desta sospetto è la soluzione. Il mio testo sostiene che la soluzione sia $ (1+3e^(-x^2))^(-1/2) $ . Concordate, al di là del procedimento con tale soluzione?
$ { ( y'=xy+xy^3 ),( y(0)=1/2 ):} $ di cui mi vien chiesto di calcolarne la soluzione. L'equazione differenziale ivi presente l'ho risolta al modo delle "equazioni di Bernoulli"; ciò che desta sospetto è la soluzione. Il mio testo sostiene che la soluzione sia $ (1+3e^(-x^2))^(-1/2) $ . Concordate, al di là del procedimento con tale soluzione?
Risposte
Quella soluzione non rispetta nemmeno la condizione iniziale!
Se hai già risolto l'equazione, fai una verifica della tua soluzione e il teorema di unicità farà il resto.
Paola
Se hai già risolto l'equazione, fai una verifica della tua soluzione e il teorema di unicità farà il resto.
Paola
Chiedo scusa la potenza è $ -1/2 $ !
Ripeto, verifica con l'eq. diff. quale delle 2 soluzioni va bene! La soluzione di quel problema è unica, quindi ti basta far così!
Paola
Paola
La prima non la considero dal momento che non mi soddisfa la condizione iniziale, per quanto concerne la seconda non mi verifica la condizione differenziale.....
Non ho capito, la soluzione che hai trovato tu non soddisfa la condizione iniziale?
Paola
Paola
Il testo propone la soluzione che ti ho suggerito ma dai miei conti vien fuori la soluzione $ (5e^(-x^2)-1)^(-1/2) $ . Quindi mi chiedevo chi avesse errato! 
Se la tua soluzione verifica l'eq. differenziale è quella giusta, ma sinceramente non ho voglia di fare i conti al posto tuo.
Paola
Paola
Sostanzialmente nessuna delle due mi verifica la condizione differenziale, probabilmente erro in qualche conto nella derivazione.... 
P.S. Solo per questo motivo richiedevo un aiuto esterno, non certo per parsimonia. 
Vediamo: per risolvere l'equazione occorre imporre $y=z^{-1/2}$: così facendo l'equazione diventa
$-1/2 z^{-3/2} z'=x z^{-1/2}+x z^{-3/2}\ Rightarrow\ z'+2xz=-2x$ con condizione iniziale $z(0)=4$
Risolvendo l'equazione lineare in $z$ si trova $(z e^{x^2})'=-2x e^{x^2}=-(e^{x^2})'$ da cui quadrando
$z(x) e^{x^2}-4=-e^{x^2}+1\ \Rightarrow\ z(x)=5e^{-x^2}-1$
In definitiva $y(x)=1/\sqrt{5e^{-x^2}-1}$.
$-1/2 z^{-3/2} z'=x z^{-1/2}+x z^{-3/2}\ Rightarrow\ z'+2xz=-2x$ con condizione iniziale $z(0)=4$
Risolvendo l'equazione lineare in $z$ si trova $(z e^{x^2})'=-2x e^{x^2}=-(e^{x^2})'$ da cui quadrando
$z(x) e^{x^2}-4=-e^{x^2}+1\ \Rightarrow\ z(x)=5e^{-x^2}-1$
In definitiva $y(x)=1/\sqrt{5e^{-x^2}-1}$.
"ciampax":
Vediamo: per risolvere l'equazione occorre imporre $y=z^{-1/2}$: così facendo l'equazione diventa
$-1/2 z^{-3/2} z'=x z^{-1/2}+x z^{-3/2}\ Rightarrow\ z'+2xz=-2x$ con condizione iniziale $z(0)=4$
Risolvendo l'equazione lineare in $z$ si trova $(z e^{x^2})'=-2x e^{x^2}=-(e^{x^2})'$ da cui quadrando
$z(x) e^{x^2}-4=-e^{x^2}+1\ \Rightarrow\ z(x)=5e^{-x^2}-1$
In definitiva $y(x)=1/\sqrt{5e^{-x^2}-1}$.
Igitur, avevo ragione, la mia soluzione era corretta. menale1-testo di anlisiII 0. Grazie per la collaborazione, ciampax.
Una domanda: ma il tuo nick si pronuncia "ménale" o "menàle"?
menàle.
Se vuoi puoi postare i passaggi così cerchiamo l'errore.
Paola
Paola
"menale":
Carissimi ragazzi ho il seguente problema di Cauchy:
$ { ( y'=xy+xy^3 ),( y(0)=1/2 ):} $ di cui mi vien chiesto di calcolarne la soluzione. L'equazione differenziale ivi presente l'ho risolta al modo delle "equazioni di Bernoulli"; ciò che desta sospetto è la soluzione. Il mio testo sostiene che la soluzione sia $ (1+3e^(-x^2))^(-1/2) $ . Concordate, al di là del procedimento con tale soluzione?
Non concordo neanche col procedimento
Si risolve "a variabili separabli".
Si, Quinzio, ma il testo chiedeva di risolverlo con il metodo di Bernoulli.
"prime_number":
Se vuoi puoi postare i passaggi così cerchiamo l'errore.
Paola
Ti ringrazio per la collaborazione, ma tutto risolve.
"Quinzio":
[quote="menale"]Carissimi ragazzi ho il seguente problema di Cauchy:
$ { ( y'=xy+xy^3 ),( y(0)=1/2 ):} $ di cui mi vien chiesto di calcolarne la soluzione. L'equazione differenziale ivi presente l'ho risolta al modo delle "equazioni di Bernoulli"; ciò che desta sospetto è la soluzione. Il mio testo sostiene che la soluzione sia $ (1+3e^(-x^2))^(-1/2) $ . Concordate, al di là del procedimento con tale soluzione?
Non concordo neanche col procedimento
Si risolve "a variabili separabli".[/quote]
Sì, ma viene una seccatura integrare la funzione $\frac{1}{y+y^3}$
Con Bernoulli fai prima. Poi de gustibus.
L'importante è l'essere arrivati alla soluzione della problematica, al di là del metodo scelto per la risoluzione dell'equazione differenziale.
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