Problema di Cauchy

[Carvalhodeolivera]

Salve spero che qualcuno possa risolvere questo dubbio,
Ho due pb di Cauchy in cui compare la stessa equazione differenziale, ma condizione iniziale diversa:

y'sinx-ycosx = e^x sin^2(x)
y(π/2)=0

y'sinx-ycosx= e^x sin^2(x)
y(-π/2)=0

Dov'è l'inganno? Mi spiego...
Siccome questi due pb di Cauchy sono presenti nella stessa traccia d'esame, credo che sia altamente improbabile che entrambi ammettano una sola soluzione poichè l'unica difficoltà sarebbe rappresentata da una semplice sostituzione finale.
Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità globale sono però verificate...
Grazie

[Elly1991]

per scrivere le formule dai un occhiata qui
come-si-scrivono-le-formule-asciimathml-e-tex-t26179.html

[dissonance]

"Carvalhodeolivera":Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità globale sono però verificate...
Grazie

Stai attento che un inghippo c'è. Vedi quel coefficiente \(\sin x\) davanti alla derivata prima di \(y\)? Facci caso: tra le ipotesi dei teorema di esistenza e unicità c'è anche il fatto che l'equazione deve essere in forma normale, ovvero in forma

\[y'=F(x, y).\]

Quindi negli intervalli in cui \(\sin x\) non si annulla sei a posto, ma quando il seno si annulla ti può fare scherzi strani.

[Carvalhodeolivera]

Quindi negli intervalli in cui \(\sin x\) non si annulla sei a posto, ma quando il seno si annulla ti può fare scherzi strani.[/quote]

Il problema è proprio questo. Poichè la condizione iniziale in un caso dice che sto nei pressi del punto x=π/2 e nell'altro del punto x=-π/2 il seno non si annulla e le ipotesi del teorema sono ugualmente verificate.
Qualcosa non quadra

[dissonance]

Le ipotesi sono verificate intorno al punto iniziale, ok. Ma che succede quando $x$ tende a $0$, a $\pi$, a $2\pi$... Può benissimo succedere che la soluzione cessi di esistere. Devi indagare questo fenomeno: è qui la difficoltà del problema.

[Carvalhodeolivera]

"dissonance":Le ipotesi sono verificate intorno al punto iniziale, ok. Ma che succede quando $x$ tende a $0$, a $\pi$, a $2\pi$... Può benissimo succedere che la soluzione cessi di esistere. Devi indagare questo fenomeno: è qui la difficoltà del problema.

Ma per quale motivo dovrei osservare cosa succede in punti lontani alla condizione iniziale prevista dal problema? E poi perchè indicare proprio quelle due condizioni iniziali in particolare?

[dissonance]

E non lo so. Dipende da cosa ti chiede la traccia dell'esercizio.

[Carvalhodeolivera]

L'esercizio mi chiede semplicemente di risolvere entrambi i problemi di cauchy...ma siccome sono presenti nella stessa traccia d'esame qualcosa non torna...

[dissonance]

E allora devi integrare esplicitamente l'equazione differenziale e vedere come regolarti con le condizioni iniziali, questo è tutto. Gli inghippi, se ci sono, salteranno fuori durante l'integrazione. Puoi usare i metodi noti per le equazioni lineari del primo ordine.

[Carvalhodeolivera]

L'unica cosa rilevante che ho riscontrato è un -log|sinx| quando integro il coefficiente della y. Questo l'ho scritto come -log(sinx) quando sono nel primo pb di Cauchy e -log(-sinx) quando svolgo il secondo pb di Cauchy.
Per il resto sembra tutto liscio.

[Carvalhodeolivera]

Un' ultima cosa...può darsi che siano soddisfatte solo le ipetesi del teorema di esistenza ed unicità locale e non il globale?

[dissonance]

"Carvalhodeolivera":L'unica cosa rilevante che ho riscontrato è un -log|sinx| quando integro il coefficiente della y. Questo l'ho scritto come -log(sinx) quando sono nel primo pb di Cauchy e -log(-sinx) quando svolgo il secondo pb di Cauchy.
Per il resto sembra tutto liscio.

E no, non te ne puoi uscire così. Questo vale in un intorno del dato iniziale, ok. Ma cosa succede quando \(\sin x\) cambia segno? Hai una singolarità, perché \(\log\) esplode. E quindi la soluzione cessa di esistere. Queste cose le devi dire per bene specificando con cura l'insieme di definizione delle soluzioni trovate.

P.S.: In questo caso hai un teorema di esistenza e unicità globale in ogni intervallo in cui \(\sin x\) non si annulla.

[Carvalhodeolivera]

"dissonance":]E no, non te ne puoi uscire così. Questo vale in un intorno del dato iniziale, ok. Ma cosa succede quando \(\sin x\) cambia segno? Hai una singolarità, perché \(\log\) esplode.

Cosa intendi con singolarità e quando dici che log esplode? Perdiamo la liptchitzianità?

[dissonance]

No, intendo che hai un punto in cui la soluzione cessa di esistere (hai ragione, il termine "singolarità" non va bene). "Esplode" è gergo per dire "tende ad infinito in valore assoluto".

[Carvalhodeolivera]

"dissonance": "Esplode" è gergo per dire "tende ad infinito in valore assoluto".

Significa quindi che se rimango in una "scatoletta" vicino alla mia condizione iniziale il teorema di esistenza e unicità locale è valido...mentre se mi sposto ho un qualcosa che quindi "esplode" non rendendomi valido il globale?
ps. con punto singolare non si intende un punto che mi annulla il gradiente (te lo chiedo perchè studiando il teorema del Dini è questo che sono riuscito a cogliere)

[dissonance]

"Punto singolare" significa tante cose diverse a seconda del contesto. In questo caso si dice che \(x=k\pi\) per un intero \(k\) è un punto singolare dell'equazione differenziale \(\sin(x)y'+y=(\ldots)\) perché in corrispondenza di esso l'equazione non è riconducibile a forma normale e quindi i teoremi di esistenza e unicità non valgono più. Ciò significa che può succedere tutto: in prossimità di un punto singolare, una soluzione può cessare di esistere oppure no.