Problema di Cauchy
Risolvere il problema di Cauchy
${(y'+(x-1)/(x+1)y=y^3e^(2x)),(y(0)=1):}$
Studio l'equazione differenziale che è un'equazione differenziale di Bernoulli
$(y')/(y^3)+(x-1)/(x+1)1/(y^2)=e^(2x)$
Pongo $w=1/y^2$ e quindi $w'=-2/y^3dy/dx$
Sostituendo:
$-w'+2(x-1)/(x+1)w=2e^(2x)$
$w'-2(x-1)/(x+1)w=2e^(2x)$
Considero l'omogenea associata:
$w'-2(x-1)/(x+1)w=0$
$int(dw)/w=int2(x-1)/(x+1)dx -> log|w|=2intdx+2int-2/(x+1) -> log|w|=2x-4log(x+1)=2x-log(x+1)^4$
Avrò quindi:
$w=c[e^(2x)-(x+1)^4]$
Ora, applicando il metodo della variazione delle costanti, come devo considerare $w=c[e^(2x)-(x+1)^4]$?
La costante è unica o devo considerare due costanti: $c_1e^(2x)-c_2(x+1)^4$?
${(y'+(x-1)/(x+1)y=y^3e^(2x)),(y(0)=1):}$
Studio l'equazione differenziale che è un'equazione differenziale di Bernoulli
$(y')/(y^3)+(x-1)/(x+1)1/(y^2)=e^(2x)$
Pongo $w=1/y^2$ e quindi $w'=-2/y^3dy/dx$
Sostituendo:
$-w'+2(x-1)/(x+1)w=2e^(2x)$
$w'-2(x-1)/(x+1)w=2e^(2x)$
Considero l'omogenea associata:
$w'-2(x-1)/(x+1)w=0$
$int(dw)/w=int2(x-1)/(x+1)dx -> log|w|=2intdx+2int-2/(x+1) -> log|w|=2x-4log(x+1)=2x-log(x+1)^4$
Avrò quindi:
$w=c[e^(2x)-(x+1)^4]$
Ora, applicando il metodo della variazione delle costanti, come devo considerare $w=c[e^(2x)-(x+1)^4]$?
La costante è unica o devo considerare due costanti: $c_1e^(2x)-c_2(x+1)^4$?
Risposte
Da [tex]$\log|w|=2x-\log(x+1)^4+c$[/tex] ricavi
[tex]$w(x)=e^{2x-\log(x+1)^4+c}=\frac{e^{2x}}{e^{\log(x+1)^4}}\cdot e^c=C\cdot\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}$[/tex]
[tex]$w(x)=e^{2x-\log(x+1)^4+c}=\frac{e^{2x}}{e^{\log(x+1)^4}}\cdot e^c=C\cdot\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}$[/tex]
e come devo comportarmi visto che, sostituendo, i termini centrali non si annullano?
ti posto i passaggi:
$w=e^(2x)/((x+1)^4)c$
$w'=c'e^(2x)/((x+1)^4)+c[(2e^(2x)(x+1)^4-4(x+1)^3e^(2x))/((x+1)^5)]$
Sostituendo$w$ e $w'$ in $w'-2(x-1)/(x+1)w=2e^(2x)$ avrò:
$c'e^(2x)/((x+1)^4)+c(2e^(2x))/((x+1)^4)-c(4e^(2x))/((x+1)^5)-c(2e^(2x)(x-1))/((x+1)^5)=2e^(2x)$
ti posto i passaggi:
$w=e^(2x)/((x+1)^4)c$
$w'=c'e^(2x)/((x+1)^4)+c[(2e^(2x)(x+1)^4-4(x+1)^3e^(2x))/((x+1)^5)]$
Sostituendo$w$ e $w'$ in $w'-2(x-1)/(x+1)w=2e^(2x)$ avrò:
$c'e^(2x)/((x+1)^4)+c(2e^(2x))/((x+1)^4)-c(4e^(2x))/((x+1)^5)-c(2e^(2x)(x-1))/((x+1)^5)=2e^(2x)$
L'equazione trasformata diventa [tex]$w'-2\cdot\frac{x-1}{x+1} w=-2e^{2x}$[/tex]. Se ora derivi la soluzione dell'omogenea applicando la variazione delle costanti ottieni
[tex]$w'=C'\cdot\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}+C\cdot\frac{e^{2x}[2(x+1)^4-4(x+1)^3]}{(x+1)^8}=\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}\cdot\left[C'+\frac{2C(x-1)}{(x+1)}\right]$[/tex]
per cui sostituendo
[tex]$\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}\cdot\left[C'+\frac{2C(x-1)}{(x+1)}\right]-\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}\cdot\frac{2C(x-1)}{(x+1)}=-2e^{2x}$[/tex]
e quindi, dopo opportune semplificazioni
[tex]$C'=-2(x+1)^4\ \Rightarrow\ C(x)=-\frac{2}{5}(x+1)^5$[/tex]
[tex]$w'=C'\cdot\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}+C\cdot\frac{e^{2x}[2(x+1)^4-4(x+1)^3]}{(x+1)^8}=\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}\cdot\left[C'+\frac{2C(x-1)}{(x+1)}\right]$[/tex]
per cui sostituendo
[tex]$\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}\cdot\left[C'+\frac{2C(x-1)}{(x+1)}\right]-\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}\cdot\frac{2C(x-1)}{(x+1)}=-2e^{2x}$[/tex]
e quindi, dopo opportune semplificazioni
[tex]$C'=-2(x+1)^4\ \Rightarrow\ C(x)=-\frac{2}{5}(x+1)^5$[/tex]
"ciampax":
[tex]$w'=C'\cdot\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}+C\cdot\frac{e^{2x}[2(x+1)^4-4(x+1)^3]}{(x+1)^8}=\frac{e^{2x}}{(x+1)^4}\cdot\left[C'+\frac{2C(x-1)}{(x+1)}\right]$[/tex]
Da dove esce il $2C(x-1)$?
Raccogli $2(x+1)^3$ nella parentesi quadra.
giusto...e per quanto riguarda la seconda condizione del problema? cosa devo farmene?
Quale seconda condizione? Non capisco. Nel problema hai solo una condizione.
intendo quella condizione $y(0)=1$, scusa, mi sono espressa male...
Per prima cosa dovrai scriverti la soluzione dell'equazione sommanod la soluzione dell'omogenea e quella particolare. Dopodiché, dovrai trovare la soluzione $y$ e sostituire in essa i valori dati dalla condizione per determinare la costante arbitraria $C$ che viene fuori dalla soluzione omogenea.
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