Problema di Cauchy
Non riesco a risolvere questo problema di Cauchy:
y′′= 2y(y′)3 y(0) =√3 y′(0)=1
Come suggerimento mi dicono di ottenere un integrale primo dall'equazione differenziale integrando questa dopo averla scritta nella forma y′′/ (y′)2 = 2yy′
y′′= 2y(y′)3 y(0) =√3 y′(0)=1
Come suggerimento mi dicono di ottenere un integrale primo dall'equazione differenziale integrando questa dopo averla scritta nella forma y′′/ (y′)2 = 2yy′
Risposte
[mod="gugo82"]@paolag: Ti prego di cominciare ad inserire il testo matematico usando il MathML, che è stato implementato proprio per rendere (intel)leggibili le formule.[/mod]
Va bene, scusami..
Il problema di Cauchy che non riesco a riesco a risolvere è questo:
$y''=2yy'^3$ $y(0)=sqrt(3)$ $y'(0)=1$
Il suggerimento dato è quello di ottenere un integrale primo dall'equazione differenziale integrando questa dopo averla scritta nella forma
$y''/y'^2=2yy'$
Il problema di Cauchy che non riesco a riesco a risolvere è questo:
$y''=2yy'^3$ $y(0)=sqrt(3)$ $y'(0)=1$
Il suggerimento dato è quello di ottenere un integrale primo dall'equazione differenziale integrando questa dopo averla scritta nella forma
$y''/y'^2=2yy'$
Il primo membro dell'ultima uguaglianza era $\frac{y''}{y'^2}$. Spero che adesso sia leggibile! Puoi aiutarmi?
Integrale primo o no, io farei così.
Allora il PdC è:
[tex]$\begin{cases} y^{\prime \prime} (x) =2y(x) [y^\prime (x)]^3 \\ y(0)=\sqrt{3} \\ y^\prime (0)=1\end{cases}$[/tex].
Il problema ha soluzione locale per noti fatti di teoria; detta [tex]$y(x)$[/tex] una sua soluzione, visto che [tex]$y(0)=\sqrt{3} >0$[/tex] ed [tex]$y^\prime (0)=1>0$[/tex] risulta [tex]$y(x)>0$[/tex] ed [tex]$y^\prime (x)>0$[/tex] in un intorno di [tex]$0$[/tex], ergo è possibile dividere m.a.m. la EDO per [tex]$[y^\prime (x)]^2$[/tex] ricavando:
(*) [tex]$\frac{y^{\prime \prime} (x)}{[y^\prime (x)]^2} =2y(x)\ y^\prime (x)$[/tex].
Ovviamente dato che le due funzioni ai due membri di (*) sono uguali, tali saranno anche i loro integrali estesi ad un qualsiasi piccolo intervallo di estremi [tex]$0$[/tex] ed [tex]$x$[/tex], onde per cui abbiamo:
[tex]$\int_0^x\frac{y^{\prime \prime} (t)}{[y^\prime (t)]^2}\ \text{d} t=\int_0^x2y(t)\ y^\prime (t)\ \text{d} t$[/tex]
intorno a [tex]$0$[/tex] e, conseguentemente:
[tex]$\left[ -\frac{1}{y^\prime (t)}\right]_0^x =\left[ y^2(t)\right]_0^x \qquad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \qquad 1-\frac{1}{y^\prime (x)} =y^2 (x) -3 \qquad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \frac{1}{y^\prime (x)}=4-y^2(x)$[/tex]
intorno a [tex]$0$[/tex]; ne consegue che una soluzione locale del PdC assegnato risolve pure il problema:
[tex]$\begin{cases} [4-y^2 (x)]\ y^\prime (x) =1 \\ y(0)=\sqrt{3} \end{cases}$[/tex],
che è del primo ordine e si risolve per quadrature.
Allora il PdC è:
[tex]$\begin{cases} y^{\prime \prime} (x) =2y(x) [y^\prime (x)]^3 \\ y(0)=\sqrt{3} \\ y^\prime (0)=1\end{cases}$[/tex].
Il problema ha soluzione locale per noti fatti di teoria; detta [tex]$y(x)$[/tex] una sua soluzione, visto che [tex]$y(0)=\sqrt{3} >0$[/tex] ed [tex]$y^\prime (0)=1>0$[/tex] risulta [tex]$y(x)>0$[/tex] ed [tex]$y^\prime (x)>0$[/tex] in un intorno di [tex]$0$[/tex], ergo è possibile dividere m.a.m. la EDO per [tex]$[y^\prime (x)]^2$[/tex] ricavando:
(*) [tex]$\frac{y^{\prime \prime} (x)}{[y^\prime (x)]^2} =2y(x)\ y^\prime (x)$[/tex].
Ovviamente dato che le due funzioni ai due membri di (*) sono uguali, tali saranno anche i loro integrali estesi ad un qualsiasi piccolo intervallo di estremi [tex]$0$[/tex] ed [tex]$x$[/tex], onde per cui abbiamo:
[tex]$\int_0^x\frac{y^{\prime \prime} (t)}{[y^\prime (t)]^2}\ \text{d} t=\int_0^x2y(t)\ y^\prime (t)\ \text{d} t$[/tex]
intorno a [tex]$0$[/tex] e, conseguentemente:
[tex]$\left[ -\frac{1}{y^\prime (t)}\right]_0^x =\left[ y^2(t)\right]_0^x \qquad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \qquad 1-\frac{1}{y^\prime (x)} =y^2 (x) -3 \qquad \Rightarrow$[/tex]
[tex]$\Rightarrow \frac{1}{y^\prime (x)}=4-y^2(x)$[/tex]
intorno a [tex]$0$[/tex]; ne consegue che una soluzione locale del PdC assegnato risolve pure il problema:
[tex]$\begin{cases} [4-y^2 (x)]\ y^\prime (x) =1 \\ y(0)=\sqrt{3} \end{cases}$[/tex],
che è del primo ordine e si risolve per quadrature.
Quindi risolvendo il problema del primo ordine si ottiene una soluzione del problema iniziale. Ma quale delle ipotesi del teorema di esistenza globale non è soddisfatta?
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