Problema di cauchy
Trovare una soluzione del problema di Cauchy:
${((1-x^2)*y'=1-y^2),(y(0)=-1):}$
Soluzione:
$y(x)=0$ è un integrale singolare.
$y(x)=0$ , definita in $]-2,0[$ è una soluzione del problema dato.
Io non capisco l'intervallo $]-2,0 [$....io avrei detto dal dominio delle $x$ dell'equazione differenziale a variabili separabili, che l'intervallo fosse stato $AA x in RR^2 -{0}$
${((1-x^2)*y'=1-y^2),(y(0)=-1):}$
Soluzione:
$y(x)=0$ è un integrale singolare.
$y(x)=0$ , definita in $]-2,0[$ è una soluzione del problema dato.
Io non capisco l'intervallo $]-2,0 [$....io avrei detto dal dominio delle $x$ dell'equazione differenziale a variabili separabili, che l'intervallo fosse stato $AA x in RR^2 -{0}$
Risposte
"qwerty90":
Trovare una soluzione del problema di Cauchy:
${((1-x^2)*y'=1-y^2),(y(0)=-1):}$
Soluzione:
$y(x)=0$ è un integrale singolare.
$y(x)=0$ , definita in $]-2,0[$ è una soluzione del problema dato.
Ma quando mai...
"gugo82":
Ma quando mai...
La soluzione mi dice così...perchè per te è sbagliato?
"qwerty90":
[quote="gugo82"]
Ma quando mai...
La soluzione mi dice così...[/quote]
Logica curiosa... Quindi se l'autore del tuo testo ti dicesse di buttarti giù da un ponte, tu lo faresti.
"qwerty90":
... perchè per te è sbagliato?
Guarda qwerty90, l'errore è talmente macroscopico che mi pare necessario rispondere alla tua domanda con un'altra domanda (di solito non lo faccio quasi mai...): perchè tu credi che [tex]$y(x)=0$[/tex] sia una soluzione del problema?
"gugo82":
[quote="qwerty90"][quote="gugo82"]
Ma quando mai...
La soluzione mi dice così...[/quote]
Logica curiosa... Quindi se l'autore del tuo testo ti dicesse di buttarti giù da un ponte, tu lo faresti.[/quote]
Se non POSSO fidarmi nemmeno dei laureati in matematica, di chi mi devo fidare???
"qwerty90":
... perchè per te è sbagliato?
"gugo82":
Guarda qwerty90, l'errore è talmente macroscopico che mi pare necessario rispondere alla tua domanda con un'altra domanda (di solito non lo faccio quasi mai...): perchè tu credi che [tex]$y(x)=0$[/tex] sia una soluzione del problema?
Comunque ti chiedo scusa ma ho sbagliato...
Mi sono confuso tra 2 esercizi vicini, nel copiare:
${((1-x^2)y' = y' - y^2),(y(-1)=0):}$
$y(x) = 0$ soluzione , definita in $]-2,0[$, il problema persiste sempre.
Vuoi sapere come arrivo a $y(x) = 0$?
$-x^2y' = -y^2$
$frac{dx}{x^2} = frac{1}{y^2}$
deve essere
$y!=0$
quindi $y(x) = 0$ integrale singolare
siccome $x!=0$, pensavo che la soluzione fosse:
$y(x) =0$ in qualsiasi intervallo escluso lo 0.
Ora vorrei capire invece perchè è definita in $]-2,0[$
[OT]
La soluzione mi dice così...[/quote]
Logica curiosa... Quindi se l'autore del tuo testo ti dicesse di buttarti giù da un ponte, tu lo faresti.[/quote]
Se non POSSO fidarmi nemmeno dei laureati in matematica, di chi mi devo fidare??? [/quote]
Innanzitutto fidati di te stesso, del tuo cervello e della tua facoltà di ragionamento... Poi casomai valuti se fidarti di altri.
[/OT]
Nell'avviso è raccomandato al quinto punto di stare attenti a ciò che si posta, proprio per evitare di perdere tempo in discussioni inutili.
La prossima volta fa' più attenzione.
Che [tex]$y(x):=0$[/tex] sia un integrale della tua equazione lo si prova andando a sostituire nell'equazione stessa, senza fare troppi casini.
In generale, se hai una EDO del tipo [tex]$f(x)\ y^\prime =g(y)$[/tex] (con [tex]$f,g$[/tex] funzioni decenti), allora per ogni [tex]$\overline{y}\in \mathbb{R}$[/tex] tale che [tex]$g(\overline{y})=0$[/tex], la funzione costante [tex]$y(x):=\overline{y}$[/tex] è un integrale singolare dell'equazione (perchè?).
Inoltre, ogni integrale di un problema di Cauchy è definito in un intervallo contenente il punto iniziale. Nel tuo caso il punto iniziale è [tex]$-2$[/tex], ergo l'insieme di definizione in cui prendere il tuo integrale è un intervallo [tex]$I$[/tex] contenente [tex]$-2$[/tex].
Ma dove comincia e dove finisce tale intervallo?
A questa risposta non si può dare, in generale, una risposta se non dopo un'analisi approfondita delle proprietà dei coefficienti dell'equazione. Tuttavia una delle cose da tenere in mente è che se in una EDO del tipo [tex]$f(x)\ y^\prime =g(y)$[/tex] il coefficiente [tex]$f(x)$[/tex] ha uno zero in un punto [tex]$\overline{x}$[/tex], allora di solito (ma non sempre... Esistono delle condizioni precise che legano la prolungabilità a vari fattori, ma non sto qui a dirle) gli integrali, regolari o singolari che siano, non possono essere prolungati oltre [tex]$\overline{x}$[/tex].
Nel tuo caso il coefficiente [tex]$f(x)=-x^2$[/tex] si annulla in [tex]$\overline{x}=0$[/tex], ergo non potrai prolungare le tue soluzioni oltre [tex]$0$[/tex].
Inoltre, visto che non ci sono altri punti problematici per [tex]$f(x)$[/tex] né per l'integrale singolare costante [tex]$y(x)=0$[/tex], tale integrale rimarrà definito nel più grande intervallo di [tex]$\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex] contenente [tex]$-2$[/tex]: tale intervallo è [tex]$I=]-\infty ,0[$[/tex].
Questo discorso è fatto molto "alla carlona"; per i dettagli, studiati le dispense segnalate qui.
"qwerty90":
[quote="gugo82"][quote="qwerty90"][quote="gugo82"]
Ma quando mai...
La soluzione mi dice così...[/quote]
Logica curiosa... Quindi se l'autore del tuo testo ti dicesse di buttarti giù da un ponte, tu lo faresti.[/quote]
Se non POSSO fidarmi nemmeno dei laureati in matematica, di chi mi devo fidare??? [/quote]
Innanzitutto fidati di te stesso, del tuo cervello e della tua facoltà di ragionamento... Poi casomai valuti se fidarti di altri.
[/OT]
"qwerty90":
Comunque ti chiedo scusa ma ho sbagliato...
Mi sono confuso tra 2 esercizi vicini, nel copiare
Nell'avviso è raccomandato al quinto punto di stare attenti a ciò che si posta, proprio per evitare di perdere tempo in discussioni inutili.
La prossima volta fa' più attenzione.
"qwerty90":
${((1-x^2)y' = y' - y^2),(y(-1)=0):}$
$y(x) = 0$ soluzione , definita in $]-2,0[$, il problema persiste sempre.
Vuoi sapere come arrivo a $y(x) = 0$?
$-x^2y' = -y^2$
$frac{dx}{x^2} = frac{1}{y^2}$
deve essere
$y!=0$
quindi $y(x) = 0$ integrale singolare
siccome $x!=0$, pensavo che la soluzione fosse:
$y(x) =0$ in qualsiasi intervallo escluso lo 0.
Ora vorrei capire invece perchè è definita in $]-2,0[$
Che [tex]$y(x):=0$[/tex] sia un integrale della tua equazione lo si prova andando a sostituire nell'equazione stessa, senza fare troppi casini.
In generale, se hai una EDO del tipo [tex]$f(x)\ y^\prime =g(y)$[/tex] (con [tex]$f,g$[/tex] funzioni decenti), allora per ogni [tex]$\overline{y}\in \mathbb{R}$[/tex] tale che [tex]$g(\overline{y})=0$[/tex], la funzione costante [tex]$y(x):=\overline{y}$[/tex] è un integrale singolare dell'equazione (perchè?).
Inoltre, ogni integrale di un problema di Cauchy è definito in un intervallo contenente il punto iniziale. Nel tuo caso il punto iniziale è [tex]$-2$[/tex], ergo l'insieme di definizione in cui prendere il tuo integrale è un intervallo [tex]$I$[/tex] contenente [tex]$-2$[/tex].
Ma dove comincia e dove finisce tale intervallo?
A questa risposta non si può dare, in generale, una risposta se non dopo un'analisi approfondita delle proprietà dei coefficienti dell'equazione. Tuttavia una delle cose da tenere in mente è che se in una EDO del tipo [tex]$f(x)\ y^\prime =g(y)$[/tex] il coefficiente [tex]$f(x)$[/tex] ha uno zero in un punto [tex]$\overline{x}$[/tex], allora di solito (ma non sempre... Esistono delle condizioni precise che legano la prolungabilità a vari fattori, ma non sto qui a dirle) gli integrali, regolari o singolari che siano, non possono essere prolungati oltre [tex]$\overline{x}$[/tex].
Nel tuo caso il coefficiente [tex]$f(x)=-x^2$[/tex] si annulla in [tex]$\overline{x}=0$[/tex], ergo non potrai prolungare le tue soluzioni oltre [tex]$0$[/tex].
Inoltre, visto che non ci sono altri punti problematici per [tex]$f(x)$[/tex] né per l'integrale singolare costante [tex]$y(x)=0$[/tex], tale integrale rimarrà definito nel più grande intervallo di [tex]$\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex] contenente [tex]$-2$[/tex]: tale intervallo è [tex]$I=]-\infty ,0[$[/tex].
Questo discorso è fatto molto "alla carlona"; per i dettagli, studiati le dispense segnalate qui.
"gugo82":
Ora vorrei capire invece perchè è definita in $]-2,0[$
Che [tex]$y(x):=0$[/tex] sia un integrale della tua equazione lo si prova andando a sostituire nell'equazione stessa, senza fare troppi casini.
In generale, se hai una EDO del tipo [tex]$f(x)\ y^\prime =g(y)$[/tex] (con [tex]$f,g$[/tex] funzioni decenti), allora per ogni [tex]$\overline{y}\in \mathbb{R}$[/tex] tale che [tex]$g(\overline{y})=0$[/tex], la funzione costante [tex]$y(x):=\overline{y}$[/tex] è un integrale singolare dell'equazione (perchè?).
Per il teorema del Dini? Cioè io trovo una funzione implicita che mi annulla l'equazione differenziale.
"gugo82":
Inoltre, ogni integrale di un problema di Cauchy è definito in un intervallo contenente il punto iniziale. Nel tuo caso il punto iniziale è [tex]$-2$[/tex], ergo l'insieme di definizione in cui prendere il tuo integrale è un intervallo [tex]$I$[/tex] contenente [tex]$-2$[/tex].
Come si calcola il punto iniziale??
"gugo82":
Ma dove comincia e dove finisce tale intervallo?
A questa risposta non si può dare, in generale, una risposta se non dopo un'analisi approfondita delle proprietà dei coefficienti dell'equazione. Tuttavia una delle cose da tenere in mente è che se in una EDO del tipo [tex]$f(x)\ y^\prime =g(y)$[/tex] il coefficiente [tex]$f(x)$[/tex] ha uno zero in un punto [tex]$\overline{x}$[/tex], allora di solito (ma non sempre... Esistono delle condizioni precise che legano la prolungabilità a vari fattori, ma non sto qui a dirle) gli integrali, regolari o singolari che siano, non possono essere prolungati oltre [tex]$\overline{x}$[/tex].
Nel tuo caso il coefficiente [tex]$f(x)=-x^2$[/tex] si annulla in [tex]$\overline{x}=0$[/tex], ergo non potrai prolungare le tue soluzioni oltre [tex]$0$[/tex].
Inoltre, visto che non ci sono altri punti problematici per [tex]$f(x)$[/tex] né per l'integrale singolare costante [tex]$y(x)=0$[/tex], tale integrale rimarrà definito nel più grande intervallo di [tex]$\mathbb{R}\setminus \{ 0\}$[/tex] contenente [tex]$-2$[/tex]: tale intervallo è [tex]$I=]-\infty ,0[$[/tex].
Questo discorso è fatto molto "alla carlona"; per i dettagli, studiati le dispense segnalate qui.
Ok quando ho tempo vedrò di leggere tali dispense.
"qwerty90":
[quote="gugo82"]Che [tex]$y(x):=0$[/tex] sia un integrale della tua equazione lo si prova andando a sostituire nell'equazione stessa, senza fare troppi casini.
In generale, se hai una EDO del tipo [tex]$f(x)\ y^\prime =g(y)$[/tex] (con [tex]$f,g$[/tex] funzioni decenti), allora per ogni [tex]$\overline{y}\in \mathbb{R}$[/tex] tale che [tex]$g(\overline{y})=0$[/tex], la funzione costante [tex]$y(x):=\overline{y}$[/tex] è un integrale singolare dell'equazione (perchè?).
Per il teorema del Dini? Cioè io trovo una funzione implicita che mi annulla l'equazione differenziale.[/quote]
Ma perchè tendi a complicarti la vita?
Come si fa a vedere se un'assegnata funzione [tex]$y(x)$[/tex] è soluzione di un problema di Cauchy?
Beh, innanzitutto si vede se [tex]$y(x)$[/tex] soddisfa la condizione iniziale: se non la soddisfa allora [tex]$y(x)$[/tex] non è soluzione, altrimenti c'è qualche possibilita (che devi confermare nello step successivo).
Se la condizione iniziale è soddisfatta, si passa a provare che [tex]$y(x)$[/tex] è soluzione della EDO; per fare ciò si deriva [tex]$y(x)$[/tex] tante volte quante serve e si sostituiscono [tex]$y(x)$[/tex] e le sue derivate dentro l'equazione: se viene fuori un'identità allora [tex]$y(x)$[/tex] è soluzione, altrimenti no.
"qwerty90":
[quote="gugo82"]
Inoltre, ogni integrale di un problema di Cauchy è definito in un intervallo contenente il punto iniziale. Nel tuo caso il punto iniziale è [tex]$-2$[/tex], ergo l'insieme di definizione in cui prendere il tuo integrale è un intervallo [tex]$I$[/tex] contenente [tex]$-2$[/tex].
Come si calcola il punto iniziale??[/quote]
Come "come si calcola il punto iniziale"?
Il punto iniziale è assegnato col problema...
A me hanno insegnato che in un problema di Cauchy:
[tex]$\begin{cases} y^{(n)}=F(x,y(x),y^\prime(x),\ldots ,y^{(n-1)} (x)) \\ y(x_0)=y_0 \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}\end{cases}$[/tex]
il punto [tex]$x_0$[/tex] è chiamato punto iniziale ed i valori [tex]$y_0,\ldots ,y_{n-1}$[/tex] valori iniziali; invece le condizioni [tex]$y(x_0)=y_0,\ldots , y^{(n-1)} (x_0)=y_{n-1}$[/tex] sono dette condizioni iniziali.
Quindi per me il punto iniziale è un dato del problema.
"gugo82":
Come "come si calcola il punto iniziale"?
Il punto iniziale è assegnato col problema...
A me hanno insegnato che in un problema di Cauchy:
[tex]$\begin{cases} y^{(n)}=F(x,y(x),y^\prime(x),\ldots ,y^{(n-1)} (x)) \\ y(x_0)=y_0 \\ \vdots \\ y^{(n-1)}(x_0)=y_{n-1}\end{cases}$[/tex]
il punto [tex]$x_0$[/tex] è chiamato punto iniziale ed i valori [tex]$y_0,\ldots ,y_{n-1}$[/tex] valori iniziali; invece le condizioni [tex]$y(x_0)=y_0,\ldots , y^{(n-1)} (x_0)=y_{n-1}$[/tex] sono dette condizioni iniziali.
Quindi per me il punto iniziale è un dato del problema.
Problema iniziale:
${((1-x^2)y' = y' - y^2),(y(-1)=0):}$
"gugo82":
Inoltre, ogni integrale di un problema di Cauchy è definito in un intervallo contenente il punto iniziale. Nel tuo caso il punto iniziale è [tex]$-2$[/tex], ergo l'insieme di definizione in cui prendere il tuo integrale è un intervallo [tex]$I$[/tex] contenente [tex]$-2$[/tex].
Dove vedi $-2$ nel problema iniziale?
Ah... 
Avevo sbagliato a leggere, era [tex]$-1$[/tex].
Comunque il [tex]$-2$[/tex] nell'intervallo di definizione non c'entra un beneamato (e non me lo spiego)... L'estremo inferiore dell'intervallo dove è definita la soluzione costante [tex]$y(x)=0$[/tex] è senz'altro [tex]$-\infty$[/tex] (e l'intervallo è [tex]$]-\infty ,0[$[/tex], come già detto).
Avevo sbagliato a leggere, era [tex]$-1$[/tex].
Comunque il [tex]$-2$[/tex] nell'intervallo di definizione non c'entra un beneamato (e non me lo spiego)... L'estremo inferiore dell'intervallo dove è definita la soluzione costante [tex]$y(x)=0$[/tex] è senz'altro [tex]$-\infty$[/tex] (e l'intervallo è [tex]$]-\infty ,0[$[/tex], come già detto).
"gugo82":
Ah...
Avevo sbagliato a leggere, era [tex]$-1$[/tex].
Comunque il [tex]$-2$[/tex] nell'intervallo di definizione non c'entra un beneamato (e non me lo spiego)... L'estremo inferiore dell'intervallo dove è definita la soluzione costante [tex]$y(x)=0$[/tex] è senz'altro [tex]$-\infty$[/tex] (e l'intervallo è [tex]$]-\infty ,0[$[/tex], come già detto).
Adesso ci siamo
grazie
Prego.
Scusami ancora per la confusione.
Scusami ancora per la confusione.
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