Problema di Cauchy

[~Mihaela~13]

Ciao a tutti, ecco il testo dell'esercizio:

Risolvere il seguente problema di Cauchy:

$ { ( (2e^y - ye^x)dx + (2xe^y-e^x)dy ),( y(0)=0 ) :} $

La forma differenziale è esatta, ne ho calcolato l'integrale: $2xe^y - 2x - y e^x =C$
Giusto?

E ora?

[stefano_89]

ed ora ci sostituisci la ocndizione di Cauchy per trovare C. La cond. iniziale ti dice che per x = 0, y vale zero..

[~Mihaela~13]

Ma quindi dovrei scrivere $2xe^y-2x-ye^x=C$ come funzione di $x$..?
Uhm...

[~Mihaela~13]

Applicando il Teorema di Dini sulle funzioni implicite, riesco ad approssimare $2xe^y-2x-ye^x-C=0$ nel punto $(0,0)$, però è approssimata appunto a $0$... Che vuol dire? Che $y(0)$ varrà $0$ per qualunque costante $C$??
Oppure posso direttamente sostituire $0$ a $x$ ed $y$ e così ottengo $C=0$..?

[gugo82]

Ma perchè non sostituisci [tex]$(x_0,y_0)=(0,0)$[/tex] nell'equazione implicita e determini il parametro [tex]$C$[/tex]?

Fatto ciò, hai ottenuto l'equazione della tua soluzione in forma implicita e solo a questo punto ti cominci a preoccupare del problema di esplicitarla rispetto a [tex]$x$[/tex].

[~Mihaela~13]

Uhm... Va bene... Quindi semplicemente $C=0$...
Grazie..!