Problema di cauchy
avrei questo problema di cauchy da risolvere.mi blocco ad un passaggio.e non riesco ad andare avanti
${(y^{\prime}=((y^2-y)x^2)/(x^3-1)),(y(0)=2):}$
oltre a risolverlo devo determinare il più ampio intervallo ove sono definite le soluzioni
il domino dell'equazione differenziale é l'insieme: $(-oo,1), (1,+oo) uu RR$
risolvo l'equazione differenziale calcolandomi le soluzioni costanti ovvero tale che $y^2(x)-y(x)=0$ trovandomi così $y(x)=0$ e $y(x)=1$. poi mi calcolo le altre soluzioni:
$y(x)^{\prime}=((y(x)^2-y(x))x^2)/(x^3-1)$
$(y(x)^{\prime})/(y(x)^2-y(x))=(x^2)/(x^3-1)$
$int(y(x)^{\prime})/(y(x)^2-y(x))=int(x^2)/(x^3-1)$
$log|(y(x)-1)/(y(x))|=1/3log|x^3-1|+1/3c$
$|(y(x)-1)/(y(x))|=root(3)(x^3-1)+e^(1/3c)$ A questo punto mi blocco perché devo fare il ragionamento per studiare dov'è definita la $y(x)$ ma non riesco. chi mi aiuta? please è importante...
${(y^{\prime}=((y^2-y)x^2)/(x^3-1)),(y(0)=2):}$
oltre a risolverlo devo determinare il più ampio intervallo ove sono definite le soluzioni
il domino dell'equazione differenziale é l'insieme: $(-oo,1), (1,+oo) uu RR$
risolvo l'equazione differenziale calcolandomi le soluzioni costanti ovvero tale che $y^2(x)-y(x)=0$ trovandomi così $y(x)=0$ e $y(x)=1$. poi mi calcolo le altre soluzioni:
$y(x)^{\prime}=((y(x)^2-y(x))x^2)/(x^3-1)$
$(y(x)^{\prime})/(y(x)^2-y(x))=(x^2)/(x^3-1)$
$int(y(x)^{\prime})/(y(x)^2-y(x))=int(x^2)/(x^3-1)$
$log|(y(x)-1)/(y(x))|=1/3log|x^3-1|+1/3c$
$|(y(x)-1)/(y(x))|=root(3)(x^3-1)+e^(1/3c)$ A questo punto mi blocco perché devo fare il ragionamento per studiare dov'è definita la $y(x)$ ma non riesco. chi mi aiuta? please è importante...
Risposte
Aggiustiamo la terminologia: il dominio del campo scalare è [tex]$(\mathbb{R}-\{1\})\times\mathbb{R}$[/tex] per cui la soluzione è al più definita per le x in [tex](-\infty;1)[/tex] (la "x" iniziale è 0).
Supposto che tale problema di Cauchy sia risolvibile ed abbia un'unica soluzione per il dato iniziale: le soluzioni costanti non ci servono, manca un valore assoluto sotto la radice cubica... tutto sarebbe positivo e puoi eliminare il valore assoluto in "y".
EDIT: Il valore assoluto in "y" è da discutere!
Supposto che tale problema di Cauchy sia risolvibile ed abbia un'unica soluzione per il dato iniziale: le soluzioni costanti non ci servono, manca un valore assoluto sotto la radice cubica... tutto sarebbe positivo e puoi eliminare il valore assoluto in "y".
EDIT: Il valore assoluto in "y" è da discutere!
"j18eos":
Aggiustiamo la terminologia: il dominio del campo scalare è [tex]$(\mathbb{R}-\{1\})\times\mathbb{R}$[/tex] per cui la soluzione è al più definita per le x in [tex](-\infty;1)[/tex] (la "x" iniziale è 0).
Supposto che tale problema di Cauchy sia risolvibile ed abbia un'unica soluzione per il dato iniziale: le soluzioni costanti non ci servono, manca un valore assoluto sotto la radice cubica... tutto sarebbe positivo e puoi eliminare il valore assoluto in "y".
be certo il problema di cauchy è stato assegnato in un esame. non credo che in sede di esame il prof dia un problema di cauchy non risolvibile
. certo le soluzioni costanti non ci servono.si già vero manca un valore assoluto sotto la radice cubica.ma non occorre fare nessun ragionamento? in un problema di cauchy simile il mio prof ha fatto uno studio
Certo che sì! Devi studiare il segno della derivata prima, eventualmente della derivata seconda. Esempi espliciti li trovi in FUSCO-MARCELLINI-BORDONE ed eserciziario annesso e negli appunti di cui ho dato il link alla pagina 2 del seguente post http://www.matematicamente.it/forum/topic-t53695.html[/tex]
"j18eos":
Certo che sì! Devi studiare il segno della derivata prima, eventualmente della derivata seconda. Esempi espliciti li trovi in FUSCO-MARCELLINI-BORDONE ed eserciziario annesso e negli appunti di cui ho dato il link alla pagina 2 del seguente post http://www.matematicamente.it/forum/topic-t53695.html[/tex]
scusa derivata prima di cosa?
y' è la derivata prima della soluzione
y''=D(y') è la derivata seconda della soluzione
Sto ridendo per non piangere (senza offesa) poiché è una cosa che si ha sotto il naso; si dovrebbe studiare almeno il segno della prima e qualche volta ci si ausilia con la seconda.
y''=D(y') è la derivata seconda della soluzione
Sto ridendo per non piangere (senza offesa) poiché è una cosa che si ha sotto il naso; si dovrebbe studiare almeno il segno della prima e qualche volta ci si ausilia con la seconda.
"j18eos":
y' è la derivata prima della soluzione
y''=D(y') è la derivata seconda della soluzione
Sto ridendo per non piangere (senza offesa) poiché è una cosa che si ha sotto il naso; si dovrebbe studiare almeno il segno della prima e qualche volta ci si ausilia con la seconda.
no non ti preoccupare.è una giornata che sono sopra i libri.sono un pò stordito
partendo da qui
$|(y(x)-1)/(y(x))|=root(3)(|x^3-1|)+e^(1/3c)$
studio il caso in $y(x)>1$ (dato che mi interessata il caso $y(0)=2$). a questo punto posso eliminare il valore assoluto dato che so per certo che la quantità |(y(x)-1)/(y(x))| è $>0$
Imponi il dato iniziale e ti trovi la c.
Poi non ti sò dire nulla di corretto data l'ora; anch'io sono alle prese con le ODE (Ordinary Differential Equations) ma quelle NL (Non Linear).
EDIT: Devi studiare il segno di y' per capire la crescenza e la decrescenza della soluzione cosicché per x>0 puoi capire se y(x)>2>0 oppure y(x)<2; in quest'ultima eventualità devi capire per quali x può essere y(x)>1 (cfr. il conto che hai in sospeso) e quindi 1>y(x)>0. Idem per x<0!
Volendo calcolarmi la c ho trovato un assurdo: rifai il conto a mente riposata.
Poi non ti sò dire nulla di corretto data l'ora; anch'io sono alle prese con le ODE (Ordinary Differential Equations) ma quelle NL (Non Linear).
EDIT: Devi studiare il segno di y' per capire la crescenza e la decrescenza della soluzione cosicché per x>0 puoi capire se y(x)>2>0 oppure y(x)<2; in quest'ultima eventualità devi capire per quali x può essere y(x)>1 (cfr. il conto che hai in sospeso) e quindi 1>y(x)>0. Idem per x<0!
Volendo calcolarmi la c ho trovato un assurdo: rifai il conto a mente riposata.
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