Problema di cauchy
Sempre per l'esame di analisi, c'è da svolgere un problema di primo grado di cauchy.
Qualcuno potrebbe dirmi i passaggi da svolgere?
Si fa esclusivamente quelli lineari e a variabili separabili.
Grazie
Qualcuno potrebbe dirmi i passaggi da svolgere?
Si fa esclusivamente quelli lineari e a variabili separabili.
Grazie
Risposte
La domanda è troppo generica.
Per le equazioni a variabili separabili, prova a dare un'occhiata al link che trovi nella mia "firma".
Per le equazioni a variabili separabili, prova a dare un'occhiata al link che trovi nella mia "firma".
Posto un esempio di esercizio:
Determinare la soluzione, precisando dove definita, del seguente porlbema di cauchy:
{$y' = x/(y-3) $
{$y(1) = 1
Edit: mi sembra che il prof applichi il metodo urang-utang
In pratica, da quanto capisco, uguagli i due integrali; gli svolge e poi, sostituendo i valori di x e y, calcola la costante.
Ora riscrive il risultato dell'integrale con la costante determinata.
Poi ottine una sorta di equazione di secondo grado in due variabili in cui mi perdo
Determinare la soluzione, precisando dove definita, del seguente porlbema di cauchy:
{$y' = x/(y-3) $
{$y(1) = 1
Edit: mi sembra che il prof applichi il metodo urang-utang
In pratica, da quanto capisco, uguagli i due integrali; gli svolge e poi, sostituendo i valori di x e y, calcola la costante.
Ora riscrive il risultato dell'integrale con la costante determinata.
Poi ottine una sorta di equazione di secondo grado in due variabili in cui mi perdo
Bah, sempre più mistero.
ho dato una spulciata al tup pdf e qualcosa inizio a capire, ma proprio qualcosa :d
Questo un esercizio del prof:
{$y' = x/(y-3) $
{$y(1) = 1$
Qua il prof dice che y<3 (perché???), che è a variabili separabili e fa:
$ int (y-3)dy = int xdx $
Svolge l'integrale e ottiene: $(y-3)^2 = x^2 + G$
ora determina G andando a sostituire i valori dati:
4 = 1+ G --> G = 3.
Riscrive il risultato dell'integrale con il valore della costante:
$(y-3)^2 = x^2+3 $
Poi trova i due valori della y (come si svolge quella equazione non lo so) di cui una delle due non è accettabile (credo perché minore di 3).
in un altro es
{$y' = y/(x+1) $
{$y(0) = -2$
invece scrive gli integrali nella forma
$ int dy/y = int dx/(x+1) $
Quindi non ci capisco... riesci ad aiutarmi?
Grazie
ho dato una spulciata al tup pdf e qualcosa inizio a capire, ma proprio qualcosa :d
Questo un esercizio del prof:
{$y' = x/(y-3) $
{$y(1) = 1$
Qua il prof dice che y<3 (perché???), che è a variabili separabili e fa:
$ int (y-3)dy = int xdx $
Svolge l'integrale e ottiene: $(y-3)^2 = x^2 + G$
ora determina G andando a sostituire i valori dati:
4 = 1+ G --> G = 3.
Riscrive il risultato dell'integrale con il valore della costante:
$(y-3)^2 = x^2+3 $
Poi trova i due valori della y (come si svolge quella equazione non lo so) di cui una delle due non è accettabile (credo perché minore di 3).
in un altro es
{$y' = y/(x+1) $
{$y(0) = -2$
invece scrive gli integrali nella forma
$ int dy/y = int dx/(x+1) $
Quindi non ci capisco... riesci ad aiutarmi?
Grazie
L' idea è quella di portare i termini in $y$ a sinistra, e i termini in $x$ a destra, ed integrare.
L'idea c'è, ma guardando gli esercizi che ho postato sapresti dirmi cosa fa il prof e cosa va fatto?
"number15":
L'idea c'è, ma guardando gli esercizi che ho postato sapresti dirmi cosa fa il prof e cosa va fatto?
Sono equazioni a "variabili separabili", ne puoi trovare molti esempi in internet.
Il nome stesso introduce la tipologia di problema, cioè se hai 2 funzione, una in x, ed una y, le puoi separare, ed integrare in maniera separata coem ha fatto il professore.
Eh, invece svolte passaggio per passaggio non ho trovato molto.
Riesci a rispondere alle domande che ho aggiunto nel post precedente, nell'esercizio svolto dal prof? (y<3 e svolgimento dell'equazione)
Riesci a rispondere alle domande che ho aggiunto nel post precedente, nell'esercizio svolto dal prof? (y<3 e svolgimento dell'equazione)
"number15":
Eh, invece svolte passaggio per passaggio non ho trovato molto.
Riesci a rispondere alle domande che ho aggiunto nel post precedente, nell'esercizio svolto dal prof? (y<3 e svolgimento dell'equazione)
Mi spiace, ma quel $y < 3$ non ricordo bene da dove venga, dovrebbe essere legato dalla cndizione iniziale del Problema di Cauchy, ma attendo conferma..
Comunque, riprendiamo quell' esercizio, hai $y' = g(x)/f(y)$, cioè una funzione in x, ed una funzione in y. A uqesto punto moltiplichi a destra e sinistra per $/y - 3$ ed integri, ottieni: $\int (y - 3)dy = \int xdx$, fai i due integrali, e avrai: $(y-3)^2=x^2+G$, quella G è la costante di integrazione che viene dall' integrazione della x. Devi determinarla, per farlo basta sostituire in cioè che hai appena ottenuto, $x = 1, y = 1$ (perchè la condizione iniziale è nella forma $y(x_0) = y_0$)
Il secondo membro è definito nei due semipiani $\{(x,y)\in RR^2: y<3\}$ e $\{(x,y)\in RR^2: y>3\}$.
Una soluzione dell'equazione diff. è una funzione $y(x)$ di classe $C^1$ (quindi, in particolare, continua); necessariamente deve stare in uno solo dei due semipiani.
Visto che il dato iniziale $(1,1)$ (vale a dire $y(1)=1$) sta nel primo semipiano, tutta la soluzione dovrà starci.
Una soluzione dell'equazione diff. è una funzione $y(x)$ di classe $C^1$ (quindi, in particolare, continua); necessariamente deve stare in uno solo dei due semipiani.
Visto che il dato iniziale $(1,1)$ (vale a dire $y(1)=1$) sta nel primo semipiano, tutta la soluzione dovrà starci.
"stefano_89":
[quote="number15"]Eh, invece svolte passaggio per passaggio non ho trovato molto.
Riesci a rispondere alle domande che ho aggiunto nel post precedente, nell'esercizio svolto dal prof? (y<3 e svolgimento dell'equazione)
Mi spiace, ma quel $y < 3$ non ricordo bene da dove venga, dovrebbe essere legato dalla cndizione iniziale del Problema di Cauchy, ma attendo conferma..
Comunque, riprendiamo quell' esercizio, hai $y' = g(x)/f(y)$, cioè una funzione in x, ed una funzione in y. A uqesto punto moltiplichi a destra e sinistra per $/y - 3$ ed integri, ottieni: $\int (y - 3)dy = \int xdx$, fai i due integrali, e avrai: $(y-3)^2=x^2+G$, quella G è la costante di integrazione che viene dall' integrazione della x. Devi determinarla, per farlo basta sostituire in cioè che hai appena ottenuto, $x = 1, y = 1$ (perchè la condizione iniziale è nella forma $y(x_0) = y_0$)[/quote]
E fin qui direi che ci sono, ma poi come si svolge quella equazione?
"Rigel":
Il secondo membro è definito nei due semipiani $\{(x,y)\in RR^2: y<3\}$ e $\{(x,y)\in RR^2: y>3\}$.
Una soluzione dell'equazione diff. è una funzione $y(x)$ di classe $C^1$ (quindi, in particolare, continua); necessariamente deve stare in uno solo dei due semipiani.
Visto che il dato iniziale $(1,1)$ (vale a dire $y(1)=1$) sta nel primo semipiano, tutta la soluzione dovrà starci.
Come si trovano i valori? Facendo le condizioni di esistenza, quindi denominatore diverso da 3?
Nell'esercizio
{y'=yx+1
{y(0)=-2
invece che condizione viene?
Nessuna condizione.
E' una equazione lineare (cioè del tipo $y' = a(x) y + b(x)$), con coefficienti continui su tutto $RR$, quindi il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione definita su tutto $RR$.
E' una equazione lineare (cioè del tipo $y' = a(x) y + b(x)$), con coefficienti continui su tutto $RR$, quindi il problema di Cauchy ammette un'unica soluzione definita su tutto $RR$.
Ops scusa... ho incollato male. L'esercizio corretto è:
${y'=y/(x+1)
{y(0)=-2 $
${y'=y/(x+1)
{y(0)=-2 $
Poiché $x_0 = 0$, andrai a cercare le soluzioni definite nella semiretta $x>-1$.
Inoltre $y_0 = -2$, quindi la soluzione del problema di Cauchy starà tutta nel semipiano $y<0$.
Inoltre $y_0 = -2$, quindi la soluzione del problema di Cauchy starà tutta nel semipiano $y<0$.
Il prof dice y<0 e x> -1.
Però non riesco a capire i passaggi: cosa devo fare?
Però non riesco a capire i passaggi: cosa devo fare?
Guarda il secondo membro. E' definito per $x<-1$ oppure per $x>-1$. Poiché $x_0 = 0 > -1$, la soluzione starà nella regione $x> -1$.
Guarda adesso il fattore in $y$; si annulla per $y=0$.
Dovresti quindi sapere che la funzione identicamente nulla è soluzione su ciascuna delle due semirette indicate sopra.
Per il teorema di (esistenza e) unicità, sai che due soluzioni non si possono intersecare. Non potendo intersecare la soluzione nulla, tutte le altre soluzioni o stanno sempre nel semipiano $y>0$ oppure stanno sempre nel semipiano $y<0$.
La scelta del semipiano la fai in base al dato iniziale $y_0$.
Guarda adesso il fattore in $y$; si annulla per $y=0$.
Dovresti quindi sapere che la funzione identicamente nulla è soluzione su ciascuna delle due semirette indicate sopra.
Per il teorema di (esistenza e) unicità, sai che due soluzioni non si possono intersecare. Non potendo intersecare la soluzione nulla, tutte le altre soluzioni o stanno sempre nel semipiano $y>0$ oppure stanno sempre nel semipiano $y<0$.
La scelta del semipiano la fai in base al dato iniziale $y_0$.
Inizio a capirci qualcosa, però, perché allora in questo esercizio
${y'=x/(y-3)
{y(1)=1 $
scrive solo y<3 e non anche x>0?
Riassumendo i passaggi per fare il campo di definizione sono:
-vedere per quali valori si annullano i fattori in y e in x (scrivendoli nella forma x < k V x > k)
-confrontare con i dati iniziali e scegliere quello in cui è contenuto
Altro esempio per vedere se ho capito:
${y'=(2y^2)/(x^2+2x)
{y(-1)=1 $
Il fattore y si annulla per y = 0, quindi è definito per y < 0 V y > 0.
Dato che y0 = 1, prendo y > 0.
Per il fattore x: x(x+2) = 0, per x=-2 V x = 0.
Riscrivo nella forma x < -2 V -2 0.
Siccome x0 = -1, prendo l'intervallo -2
${y'=x/(y-3)
{y(1)=1 $
scrive solo y<3 e non anche x>0?
Riassumendo i passaggi per fare il campo di definizione sono:
-vedere per quali valori si annullano i fattori in y e in x (scrivendoli nella forma x < k V x > k)
-confrontare con i dati iniziali e scegliere quello in cui è contenuto
Altro esempio per vedere se ho capito:
${y'=(2y^2)/(x^2+2x)
{y(-1)=1 $
Il fattore y si annulla per y = 0, quindi è definito per y < 0 V y > 0.
Dato che y0 = 1, prendo y > 0.
Per il fattore x: x(x+2) = 0, per x=-2 V x = 0.
Riscrivo nella forma x < -2 V -2
Siccome x0 = -1, prendo l'intervallo -2
Poi ho visto che bisogna anche specificare dove è definita la soluzione, dopo aver trovato il valore di y.
Capito niente di sta parte
Capito niente di sta parte
Nessuno?
L'equazione ho capito come la risolve, mi manca solo l'ultimo passaggio, ovvero quello in cui bisogna specificare
dove è definita la soluzione, dopo aver trovato il valore di y.
help
dove è definita la soluzione, dopo aver trovato il valore di y.
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