Problema di cauchy

[daniela871]

salve oggi ho risolto un problema di cauchy e mi piacerebbe se qualche anima pia potesse dargli un occhiata per dirmi se l ho fatto bene o meno....

$\{(y'=e^(y-x)),(y(0)=1):}$

pongo:
$z(x)=y-x;$
$z'(x)=y'-1;$
$y'=z'+1$
$y'=e^z$

quidni in definitiva ho:
$\{(z'=e^z-1),(z(0)=1):}$

1categoria:
$e^z-1=0; z=0;$

2categoria:
$z:RR->(0,+infty)$
considero l omogenea
$z'=e^z;$
$ (z')/e^z=1;$

$\int 1/e^z dz=int dx$

$-1/e^z=x+c$ trovo c sostituendo il punto di cauchy $c=-1/e$ quidni ho:

$-1/e^z=x-1/e$
da cui: $x-1/e<0 => x<1/e$;
e inoltre $e^z(x-1/e)=-1 => e^z=-1/(x-1/e); => z=-log(1/(x-1/e)$ (forse quest' ultimo passaggio non è esatto ma in ogni caso il denominatore potrebbe essere sia positivo che negativo essendo x defiinito in $RR$ e quindi nn saprei se la quantita è positiva o negativa,se ènegativa non avrebbe senso perchè non esiste il log di un numero negativo..)..booo

cmq ringrazio chiunque mi aiuti!:)

[salvozungri]

l'equazione differenziale che interviene non è lineare quindi non vedo la necessità di considerare l'omogenea associata
Inoltre $y'(x)= e^(y(x)-x) = e^(y(x))/e^x$, hai quindi un'equazione differenziale a variabili separabili. Prova a risolvere e fammi sapere

[daniela871]

l omogenea nel senso che non considero quel 1... quindi mi stai dicendo che è impossibile risolverla per sostituzione??
già che ci sono ti pongo questo mio dubbio perchè io non ho ancora capito se uno stesso problema di cauchy puo isolversi in più modi.. cioè se il metodo lo scegliamo noi (come in questo caso) o i due metodi non sono equivalenti...

[daniela871]

cmq hai perfettamente ragione..è un passaggio sbagliatissimo non centra niente...me ne sono accorta solo adesso cmq la seconda domanda è ancora valida

[salvozungri]

No, non sto dicendo che impossibile svolgerla per sostituzione, anche se il tuo procedimento mi lascia alquanto perplesso, semplicemente sto suggerendoti un metodo che dovrebbe essere più immediato.

[daniela871]

uhm okok....si cmq se ti riferisci al fatto che ho detto di considerare l omogenea lo so che è sbagliato...in pratica ho fatto confusione con i problemi dicauchy secondo bernoulli..li si considera l omogenea...grazie 1000 per l aiuto:)!

[salvozungri]

Prego