Problema di Cauchy
Ragazzi, avrei bisogno ancora del vostro aiuto.
La richiesta è: dire se esiste un intorno del punto x=0 in cui il Problema di Cauchy:
$y'=4xsqrt(y-1)$
$y(0)=1$
ha una sola soluzione.
L'unica cosa che sono stato in grado di fare è stato risolvere l'eq. differenziale, così da trovarmi soluzione di tipo costante uguale a 1 e, procedendo con separazione variabili:
$2sqrt(y-1)=2x^2+c$
e ricavandomi la y:
$y=x^4+1+c$
imponendo condizione iniziale trovo che la costante c uguale a 0. Ma non credo sia utile al fine della richiesta.
Vi ringrazio per l'aiuto.
La richiesta è: dire se esiste un intorno del punto x=0 in cui il Problema di Cauchy:
$y'=4xsqrt(y-1)$
$y(0)=1$
ha una sola soluzione.
L'unica cosa che sono stato in grado di fare è stato risolvere l'eq. differenziale, così da trovarmi soluzione di tipo costante uguale a 1 e, procedendo con separazione variabili:
$2sqrt(y-1)=2x^2+c$
e ricavandomi la y:
$y=x^4+1+c$
imponendo condizione iniziale trovo che la costante c uguale a 0. Ma non credo sia utile al fine della richiesta.
Vi ringrazio per l'aiuto.
Risposte
Hai già fatto un buon passo in avanti.
In effetti $y=x^4 +1$ è soluzione del tuo problema di Cauchy.
Ma è immediato verificare che $y=1$ è anch'essa soluzione del problema di Cauchy.
Quindi niente unicità.
Qualche commento di carattere più generale:
- non è soddisfatta la condizione di lipschitzianità e quindi può capitare di non avere unicità
- la soluzione costante è "notoriamente" soluzione, per via di un fenomeno generale che riguarda le equazioni differenziali a variabili separabili (vedi ad esempio i miei appunti in "firma" sul tema)
- un problema simile è stato affrontato di recente:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... tml#313817
vedi soprattutto il rinvio a un thread precedente, fatto da dissonance
PS:
In effetti $y=x^4 +1$ è soluzione del tuo problema di Cauchy.
Ma è immediato verificare che $y=1$ è anch'essa soluzione del problema di Cauchy.
Quindi niente unicità.
Qualche commento di carattere più generale:
- non è soddisfatta la condizione di lipschitzianità e quindi può capitare di non avere unicità
- la soluzione costante è "notoriamente" soluzione, per via di un fenomeno generale che riguarda le equazioni differenziali a variabili separabili (vedi ad esempio i miei appunti in "firma" sul tema)
- un problema simile è stato affrontato di recente:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... tml#313817
vedi soprattutto il rinvio a un thread precedente, fatto da dissonance
PS:
"bad.alex":Mi spieghi cosa intendi?
L'unica cosa che sono stato in grado di fare è stato risolvere l'eq. differenziale, così da trovarmi soluzione di tipo costante uguale a 0
Grazie Fioravante.
Praticamente, in quel passaggio ho risolto l'eq: $sqrt(y-1)=0$ per trovarmi la soluzione di tipo costante, soltanto che ho sbagliato soluzione
è 1 
Praticamente, in quel passaggio ho risolto l'eq: $sqrt(y-1)=0$ per trovarmi la soluzione di tipo costante, soltanto che ho sbagliato soluzione
è 1
Scusami Fioravante, volevo chiederti come fare a capire quando in un intorno di un punto vi è una sola soluzione. In questo caso si prende come x_0=0 ...
Uhm, avere a che fare con me è rischioso.
Non solo ero (?) un moderatore cattivissimo, ma sono anche un utente odioso.
Eccone una prova.
Omogenea associata???
Non vorrai mica dire che l'equazione data è lineare?
No, vero?
scusami, come hai ricavato y=1?
[/quote]
Bastava che tu leggessi il mio post e seguissi le indicazioni: leggere i miei preziosi appunti su equazioni differenziali a variabili separabili (+ urang-utang©). A parte che la risposta a questa domanda la trovi in ogni libro, dispensa, appunto decente che parli di equadiff a variabili separabili.
Ehm, hai DUE soluzioni: $x^4+1$ e $1$ da sbattere in faccia al prof. Cosa vuoi di più?
Si tratta di un fenomeno che capita spesso, quando ci sono tra i piedi delle radici.
Vedi ad esempio le due pagine che ho indicato qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... tml#313935
Suggerimento serio finale: fai un momento una pausa di riflessione.
Non solo ero (?) un moderatore cattivissimo, ma sono anche un utente odioso.
Eccone una prova.
"bad.alex":Aaaarrrggghhh!!!
Grazie Fioravante.
Praticamente, in quel passaggio ho risolto l'omogenea associata soltanto che ho sbagliato soluzione
Omogenea associata???
Non vorrai mica dire che l'equazione data è lineare?
No, vero?
"bad.alex":
[quote="Fioravante Patrone"]
Ma è immediato verificare che $y=1$ è anch'essa soluzione del problema di Cauchy.
scusami, come hai ricavato y=1?
[/quote]Bastava che tu leggessi il mio post e seguissi le indicazioni: leggere i miei preziosi appunti su equazioni differenziali a variabili separabili (+ urang-utang©). A parte che la risposta a questa domanda la trovi in ogni libro, dispensa, appunto decente che parli di equadiff a variabili separabili.
"bad.alex":
un'altra domanda ( effettivamente ancora questo punto mi è poco chiarocome faccio a dire se esiste o meno un'unica soluzione nell'intorno x=0?
Ehm, hai DUE soluzioni: $x^4+1$ e $1$ da sbattere in faccia al prof. Cosa vuoi di più?
Si tratta di un fenomeno che capita spesso, quando ci sono tra i piedi delle radici.
Vedi ad esempio le due pagine che ho indicato qui:
https://www.matematicamente.it/forum/pro ... tml#313935
Suggerimento serio finale: fai un momento una pausa di riflessione.
Fioravante....ti apprezzo come moderatore figurati se non lascio bacchettarmi per i miei errori 
Stavo tornando a correggere le mie idiozie ( meglio ridere piuttost che piangere anche perchè in queste giornate è il caldo a fare brutti scherzi).
Ti ringrazio. Si, chiarissimo per la soluzione ma pensavo ad esser sincero potesse essere più difficile la consegna....ecco: si può dire che io sia rimasto deluso dal basso livello di difficoltà
Per quanto riguarda l'omogenea associata : chiedo venia....mia ENORME svista linguistica....
Grazie per l'aiuto. Malgrado la tua cattiveria e perfidia, sei stato gentilissimo....non me ne vorrai spero !?!?
Buona serata,
alex
p.s. per quanto riguarda il "come hai ricavato soluzione y=1"....beh....spero si sia capito che a furia di risolvere più esercizi sono entrato in confusione e in monotonia ....ho confuso ( e scritto) soluzione di tipo costante di altro problema. Per questo non mi tornavano i calcoli
Stavo tornando a correggere le mie idiozie
( meglio ridere piuttost che piangere anche perchè in queste giornate è il caldo a fare brutti scherzi).Ti ringrazio. Si, chiarissimo per la soluzione ma pensavo ad esser sincero potesse essere più difficile la consegna....ecco: si può dire che io sia rimasto deluso dal basso livello di difficoltà
Per quanto riguarda l'omogenea associata : chiedo venia....mia ENORME svista linguistica....
Grazie per l'aiuto. Malgrado la tua cattiveria e perfidia, sei stato gentilissimo....non me ne vorrai spero !?!?
Buona serata,
alex
p.s. per quanto riguarda il "come hai ricavato soluzione y=1"....beh....spero si sia capito che a furia di risolvere più esercizi sono entrato in confusione e in monotonia ....ho confuso ( e scritto) soluzione di tipo costante di altro problema. Per questo non mi tornavano i calcoli
"bad.alex":maledetto!
Malgrado la tua cattiveria e perfidia, sei stato gentilissimo....non me ne vorrai spero !?!?
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