Problema di cauchy
Salve vorrei un aiuto riguardo il seguente problema di Cauchy
$\{(y'=1+y^2),(y(0)=0):}$
allora la prima equazione l'esercizio me la indica a "variabili separabili", quindi suppongo che sarà $f(y)=1+y^2$ e $g(x)=1$ giusto???
risolvendo io ho questa equazione
$\int 1/(1+y^2) dy$ = $\int 1 dx$
da cui
$arctg(y)=x+c$
ora sostituendo i valori della condizione avrei
$arctg(0)=c$ quindi $c=0$
a questo punto avrei
$arctg(y)=x$ e quindi come si esplicita la $y$???
Deduco di aver sbagliato il procedimento.
$\{(y'=1+y^2),(y(0)=0):}$
allora la prima equazione l'esercizio me la indica a "variabili separabili", quindi suppongo che sarà $f(y)=1+y^2$ e $g(x)=1$ giusto???
risolvendo io ho questa equazione
$\int 1/(1+y^2) dy$ = $\int 1 dx$
da cui
$arctg(y)=x+c$
ora sostituendo i valori della condizione avrei
$arctg(0)=c$ quindi $c=0$
a questo punto avrei
$arctg(y)=x$ e quindi come si esplicita la $y$???
Deduco di aver sbagliato il procedimento.
Risposte
La domanda cui devi rispondere per risolvere l'inghippo è:
Qual è la funzione inversa dell'arcotangente?
Una volta risposto a questa domanda, la soluzione dell'esercizio diventa una banale applicazione della definizione di funzione inversa.
P.S.: Ovviamente non hai sbagliato nulla; i conti sono giusti.
Qual è la funzione inversa dell'arcotangente?
Una volta risposto a questa domanda, la soluzione dell'esercizio diventa una banale applicazione della definizione di funzione inversa.
P.S.: Ovviamente non hai sbagliato nulla; i conti sono giusti.
quindi semplicemente
$y=tgx$ ???
$y=tgx$ ???
Sì.
Più precisamente, è la restrizione della funzione tangente all'intervallo $]-pi/2,pi/2[$.
Più precisamente, è la restrizione della funzione tangente all'intervallo $]-pi/2,pi/2[$.
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