Problema di cauchy

[75america]

Ragazzi,
eccomi di nuovo con un problema di cauchy irrisolvibile:
$\{(y'=sqrtx/(1+x^2)),(y(0)=1):}$
allora ho provato a risolvere la primitiva ma non ci riesco:
$int sqrtx/(1+x^2)=int sqrtx int 1/(1+x^2)=2/3 x^(3/2) arctgx$, ma secondo me ho sbagliato.....
Aspetto il vostro aiuto.
Grazie

[delarge1]

Non è proprio immediata la primitiva..

$(sqrt(2)/2)*arctan(sqrt(2x)+1)+(sqrt(2)/4)*ln((x-sqrt(2x)+1)/(x+sqrt(2x)+1))+(sqrt(2)/2)*arctan(sqrt(2x)-1)


Poi risolvi normalmente, dopo ricontrollo i conti per sicurezza

[gugo82]

Apro e chiudo parentesi.

Il problema di Cauchy proposto è del tipo più banale possibile, in quanto si può applicare il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (risultato noto da Analisi I) per stabilire che la soluzione cercata è definita dall'assegnazione:

$y(x):=1+\int_0^x \sqrt(t)/(1+t^2)" d"t \quad$ (ovviamente è $x>=0$).

A questo punto bisogna risolvere l'integrale, ma questo è un problema di calcoli lunghi e noiosi.

[75america]

per avermi detto la primitiva però io vorrei capire i passaggi intermedi per arrivare a quel "mostro", perchè proprio non riesco ad immaginarmi che regole hai applicato, cmq grazie

[delarge1]

Prego, la primitiva la trovi con un procedimento abbastanza lungo di calcoli, come ha detto gugo. Se proprio non sai dove mettere le mani ti direi di iniziare con un cambio di variabile $u=sqrt(x)$ da cui $x=u^2$ e $dx=2u*du$ che ti trasforma l'integrale in $2*\int u^2/(1+u^4)du$, per la moltiplicazione per una costante. Da qui ti trovi le frazioni generatrici con la solita regola e inizi il parto che prevede un ulteriore cambio di variabile.

Cmq dopo la scomposizione in frazioni la vita ti si semplifica di molto, diventa solo un gioco di riscrivere polinomi di 2°grado al denominatore per riportarli a forme "umane".

Per agevolarti il lavoro eccoti l'integrale come si presenta dopo la scomposizione:

$-sqrt(2)/2*\int u/(-u^2+ usqrt(2) - 1)du +2*\int -1/4*((usqrt(2))/(u^2+usqrt(2)+1))du $

La noiosità nasce ora, perchè in entrambi gli integrali hai al numeratore qualcosa che può essere riscritto come la derivata del denominatore. Da qua iniziano i giochetti di logaritmi e arcotangenti che vedi nella primitiva (se ci fai caso nel logaritmo presente nella primitiva c'è $x+sqrt(2x)+1$, non ti sembra di vederlo da qualche parte? )

Spero di esserti stato utile

[75america]

far vedere anche i passaggi intermedi:
delarge non riesco a trovare le frazioni generatrici (mi ricordo solo quella dei numeri periodici pensa un pò te...
mi aiutate un pò grazie
ma cmq questa euqazione differenziale qui è del tipo lineare del primo ordine con mancante il termine$a(x)y%?