Problema di Cauchy

[Seto]

Ho un serio problema a risolvere un problema di Cauchy, non tanto per il procedimento, ma per "manovrare" l'arcotangente. Comunque per sicurezza riporto l'intero problema, tanto non è difficile:

$\{((-y/(x^2+y^2))*dx+(x/(x^2+y^2))*dy = 0), (y(1)=1):}$

Posto M la prima frazione e N la seconda, calcolo $M_y$ e $N_x$ che mi risultanto uguali, quindi l'equazione dovrebbe essere esatta.

Allora calcolo:

$\U= int N*dy$ = $arctan(y/x)+h(y)$

La costante h mi risulta uguale a zero derivando $U_x$

Ora però il prof mi da le soluzione tra cui scegliere:

1. y = x
2. $x^2$ + $y^2$ = 2
3. y = $e^x$ +1 -e
4. y = arctan(x) + 1
5. y = 2x + C - 1

Quindi prima di porre la condizione di Cauchy, devo capire come uscire da quel maledetto arctan(y/x)
Spero di non aver fatto errori vista l'ora ma mi risulta tutto molto fluido fino all'arcotangente, quindi penso di aver imboccato la strada giusta

[Fioravante Patrone1]

Ma chi sarebbe la soluzione che tu hai trovato?

Tu non l'hai indicata. Se lo facessi, probabilmente capiresti che la "arctg" è più docile di un agnellino, non certo un minaccioso ueang-utang.

[Seto]

Io ho trovato che il potenziale generale U dell equazione è:

U = $arctan(y/x) + c$ (Sempra se non ho sbagliato i conti)

Trovato il c che soddisfi y(1) = 1. Come giungo a una delle soluzioni del prof?
Quindi o ho sbagliato i conti e allora me li rifaccio domani mattina, oppure l'arcotangente ha qualche trucco che mi sfugge

riporto i conti per controllo:

$U = int (x*dy)/(x^2 + y^2)$ = $ x* int dy/ (x^2+y^2)$ = $arctan(y/x) + h(x)$

$U_x$ = $(1/(1+(y^2/x^2)))*(-y*x^-2) + h'(x)$ = $ (x^2/(x^2+y^2))*(-y*x^-2)$ = M

Questo impica h'(x)=0, quindi h(x) = c
Quindi U = arctan(y/x) + c

[Fioravante Patrone1]

"Seto":
Quindi U = arctan(y/x) + c

Ti faccio ri-notare che non hai ancora indicato chi sia la soluzione del problema di Cauchy, né in forma esplicita né implicita.

Se chiamiamo, come fai tu, $U(x,y)$ il "potenziale generale dell'equazione" (terminologia che non avevo mai né letto né sentito prima, ma non è questo il problema), chi sono le soluzioni dell'equazione differenziale? Come sono descritte?
Non penserai mica che sia $U$ la soluzione dell'equadiff! Visto che è una funzione di due variabili mi sembra poco probabile che lo sia.

[Seto]

Allora potresti mostrarmi tu come risolverla? Perchè evidentemente non ho capito come farla allora

anche solo i passaggi che devo fare

[Fioravante Patrone1]

Le soluzioni sono descritte implicitamente dalla relazione $U(x,y)=K$.
Quindi sono descritte da: $\arctg (y/x) = k$.
Ovvero $y/x = h$
Cioè $y = hx$. Poi, tenendo conto della c.i., si conclude.

[Seto]

Quindi non ho capito, la soluzione sarebbe y = x??

[Fioravante Patrone1]

Ma hai provato a sostituire nel problema di Cauchy dato?

[Seto]

Ho pensato a quello che hai detto, cioè

$arctan(y/c) + C = 0$

Quindi ovviamente $arctan(y/x) = c$ => $y/x = tanc$ => $y=cx$

Poichè deve essere $y(1)=1$ La soluzione a questo punto dev'essere y=x