Problema di Cauchy
Potete aiutarmi a risolvere il problema di Cauchy? 
$\{(y^(''')-|y|=e^x),(y(0)=0),(y^{\prime}(0)=0),(y^('')(0)=0):}$
provare che ha una e una sola soluzione $\phi(x)$ definita in $RR$; provare che risulta $\phi(x)>0 AA x>0$ e $\phi(x)<0 AA x<0$
$\{(y^(''')-|y|=e^x),(y(0)=0),(y^{\prime}(0)=0),(y^('')(0)=0):}$
provare che ha una e una sola soluzione $\phi(x)$ definita in $RR$; provare che risulta $\phi(x)>0 AA x>0$ e $\phi(x)<0 AA x<0$
Risposte
Avevo provato a risolvere la omogenea, dividendola per y>0 e y<0. Il risultato è
$\{(c_1e^x+c_2xe^x+c_3x^2e^x, y>=0),(c_1e^-x+c_2xe^-x+c_3x^2e^-x, y<0):}$
Se questi valori sono corretti allora cerco la $\phi = kx^2e^x$, ma la soluzione non è unica nè tantomeno $\phi>0 AA x>0, phi<0 AA x<0 $
Dove sbaglio???
$\{(c_1e^x+c_2xe^x+c_3x^2e^x, y>=0),(c_1e^-x+c_2xe^-x+c_3x^2e^-x, y<0):}$
Se questi valori sono corretti allora cerco la $\phi = kx^2e^x$, ma la soluzione non è unica nè tantomeno $\phi>0 AA x>0, phi<0 AA x<0 $
Dove sbaglio???
Posta pian piano i calcoli,non si capisce come giungi a quel secondo sistema
risolvi l'omogenea associata,considera che il termine noto è un esponenziale e...
risolvi l'omogenea associata,considera che il termine noto è un esponenziale e...
Che la soluzione massimale sia definita su tutto $RR$ non c'è problema.
E' una equazione del tipo:
$y''' = f(x,y,y',y'')$ con condizione iniziale solita.
La f è tranquillamente lipschitziana su ogni "striscia" del tipo $[a,b] \times RR \times RR \times RR$, visto che la funzione "valore assoluto" è lipschitziana. Dopo di che le solite tecniche di "incollamento" (o di "invasione progressiva" per dirlo in altro modo) che si usano per provare che una equazione differenziale lineae è definita sull'intervallo $I$ (in questo caso $I = RR$) in cui sono definiti e continui i "coefficienti".
Detto in altri termini, si applica il teorema di esistenza ed unicità in grande ad ogni insieme del tipo $[-n,n] \times RR \times RR \times RR$, per $n \in NN$. E poi grazie alla unicità su ogni intervallo si "attaccano (cuciono?) assieme i pezzi per ottenere che la soluzione massimale è appunto definita su tutto $RR$.
E' una equazione del tipo:
$y''' = f(x,y,y',y'')$ con condizione iniziale solita.
La f è tranquillamente lipschitziana su ogni "striscia" del tipo $[a,b] \times RR \times RR \times RR$, visto che la funzione "valore assoluto" è lipschitziana. Dopo di che le solite tecniche di "incollamento" (o di "invasione progressiva" per dirlo in altro modo) che si usano per provare che una equazione differenziale lineae è definita sull'intervallo $I$ (in questo caso $I = RR$) in cui sono definiti e continui i "coefficienti".
Detto in altri termini, si applica il teorema di esistenza ed unicità in grande ad ogni insieme del tipo $[-n,n] \times RR \times RR \times RR$, per $n \in NN$. E poi grazie alla unicità su ogni intervallo si "attaccano (cuciono?) assieme i pezzi per ottenere che la soluzione massimale è appunto definita su tutto $RR$.
Ma se risolvo analiticamente il problema,per $y>0$
ho che l'equazione dell'omogenea associata è $lambda^3-1=0$,di questa equazione devo trovare tutte le soluzioni oppure solo le reali??
ho che l'equazione dell'omogenea associata è $lambda^3-1=0$,di questa equazione devo trovare tutte le soluzioni oppure solo le reali??
"Ene@":
ho che l'equazione dell'omogenea associata è $lambda^3-1=0$,di questa equazione devo trovare tutte le soluzioni oppure solo le reali??
Tutte, mi spiace
Alle due soluzioni complesse e coniugate dell'equazione caatteristica corrispondono due soluzioni dell'equadiff "con seno e coseno".
PS: Visto che l'equazione data non è lineare, per la presenza del termine $|y|$, mi raccomando di usare cautela nel maneggiarla "a pezzi" come equazione lineare.
"Fioravante Patrone":
[quote="Ene@"]ho che l'equazione dell'omogenea associata è $lambda^3-1=0$,di questa equazione devo trovare tutte le soluzioni oppure solo le reali??
Tutte, mi spiace
Alle due soluzioni complesse e coniugate dell'equazione caatteristica corrispondono due soluzioni dell'equadiff "con seno e coseno".
PS: Visto che l'equazione data non è lineare, per la presenza del termine $|y|$, mi raccomando di usare cautela nel maneggiarla "a pezzi" come equazione lineare.[/quote]
in pratica viene,se $y>0$,$bary=2c_1*e^(-1/2x)*cos(sqrt3/2x)-2c_2*e^(-1/2x)*sin(sqrt3/2x)+c_3*e^x$?(integrale generale)
Avevo intuito che bisognava dimostrare che è lipschitziana, ma non sapevo come fare... 
Nei calcoli avevo provato ank'io a calcolarla analiticamente e mi imbattevo nello stesso problema delle soluzioni reali...
Quello che ancora non mi è chiaro è il metodo di "cucitura..."
Nei calcoli avevo provato ank'io a calcolarla analiticamente e mi imbattevo nello stesso problema delle soluzioni reali...
Quello che ancora non mi è chiaro è il metodo di "cucitura..."
Ho rifatto i calcoli grazie alle vostre dritte e sn arrivato a questo:
$\{(c_1e^x+c_2e^(1/2)cos((sqrt(3)/2)x)+c_3e^(1/2)sin((sqrt(3)/2)x),y>=0),(c_1e^x+c_2e^-(1/2)cos((sqrt(3)/2)x)+c_3e^-(1/2)sin((sqrt(3)/2)x),y<0):}$
Sono corretti?
Poi procedevo con la $\phi$ del tipo $\kx^2e^x$, la cui derivata terza è $\6ke^x+6kxe^x+kx^2e^x$
La sostituzione, dato il valore assoluto, come va fatta?
$\{(c_1e^x+c_2e^(1/2)cos((sqrt(3)/2)x)+c_3e^(1/2)sin((sqrt(3)/2)x),y>=0),(c_1e^x+c_2e^-(1/2)cos((sqrt(3)/2)x)+c_3e^-(1/2)sin((sqrt(3)/2)x),y<0):}$
Sono corretti?
Poi procedevo con la $\phi$ del tipo $\kx^2e^x$, la cui derivata terza è $\6ke^x+6kxe^x+kx^2e^x$
La sostituzione, dato il valore assoluto, come va fatta?
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