Problema di Cauchy
Ho provato a risolvere questo problema di Cauchy
$\{(y' = x \sqrt{1 - y^2}),(y(0) = 1):}$
Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità non sono soddisfatte, pertanto la soluzione potrebbe non esistere e/o non essere unica.
Fra le soluzioni costanti dell'equazione differenziale, $y \equiv 1$ risolve anche il problema di Cauchy. Andando a separare le variabili e imponendo le condizioni iniziali trovo $"arcsin"(y) = \frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2}$, ma dato che l'arcoseno è una funzione limitata fra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, da $-\frac{\pi}{2} \le \frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2}$ segue necessariamente $x=0$. A questo punto cosa devo concludere, che $y \equiv 1$ è l'unica soluzione?
$\{(y' = x \sqrt{1 - y^2}),(y(0) = 1):}$
Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità non sono soddisfatte, pertanto la soluzione potrebbe non esistere e/o non essere unica.
Fra le soluzioni costanti dell'equazione differenziale, $y \equiv 1$ risolve anche il problema di Cauchy. Andando a separare le variabili e imponendo le condizioni iniziali trovo $"arcsin"(y) = \frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2}$, ma dato che l'arcoseno è una funzione limitata fra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, da $-\frac{\pi}{2} \le \frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2}$ segue necessariamente $x=0$. A questo punto cosa devo concludere, che $y \equiv 1$ è l'unica soluzione?
Risposte
Propenderei per il sì.
Infatti, separando le variabili trovi:
$\int_1^y (d eta)/(sqrt(1-eta^2))=\int_0^x xi d xi quad => quad "arcsin"y-pi/2=(x^2)/2$
con l'ultima uguaglianza che non definisce un'appicazione di un intorno di $0$ in un intorno di $1$ (difatti il primo membro è non positivo, mentre il secondo è non negativo).
Questo si può interpretare come segue: la lipschitzianità del termine noto di un problema di Cauchy rispetto alla $y$ è una condizione sufficiente ma nient'affatto necessaria affinche il problema abbia unica soluzione.
Infatti, separando le variabili trovi:
$\int_1^y (d eta)/(sqrt(1-eta^2))=\int_0^x xi d xi quad => quad "arcsin"y-pi/2=(x^2)/2$
con l'ultima uguaglianza che non definisce un'appicazione di un intorno di $0$ in un intorno di $1$ (difatti il primo membro è non positivo, mentre il secondo è non negativo).
Questo si può interpretare come segue: la lipschitzianità del termine noto di un problema di Cauchy rispetto alla $y$ è una condizione sufficiente ma nient'affatto necessaria affinche il problema abbia unica soluzione.
"Tipper":
Ho provato a risolvere questo problema di Cauchy
$\{(y' = x \sqrt{1 - y^2}),(y(0) = 1):}$
Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità non sono soddisfatte, pertanto la soluzione potrebbe non esistere e/o non essere unica.
Fra le soluzioni costanti dell'equazione differenziale, $y \equiv 1$ risolve anche il problema di Cauchy. Andando a separare le variabili e imponendo le condizioni iniziali trovo $"arcsin"(y) = \frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2}$, ma dato che l'arcoseno è una funzione limitata fra $-\frac{\pi}{2}$ e $\frac{\pi}{2}$, da $-\frac{\pi}{2} \le \frac{x^2}{2} + \frac{\pi}{2} \le \frac{\pi}{2}$ segue necessariamente $x=0$. A questo punto cosa devo concludere, che $y \equiv 1$ è l'unica soluzione?
Tieni presente che la soluzione è "intrappolata" da due condizioni (vedo per $x > 0$, per $x < 0$ le considerazioni sono analoghe):
1. dall'equazione vedi che qualunque sia la funzione che la risolve, essa dev'essere debolmente crescente, visto che il secondo membro è maggiore o uguale di zero;
2. $y(0) = 1$.
Quindi $y \ge 1$. Ma ovviamente non può valere il $>$, sennò il secondo membro non è più definito.
Credo di aver capito, grazie a entrambi.
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