Problema di Cauchy
Risolvere per $t>=0$ il seguente problema:
${(y^{\prime}+omegay=(-1)^[[t]]),(y(0)=0):},omegainRR$
Trasformando,secondo Laplace,ambo i membri ho ottenuto $Y(s)=(1-e^-s)/(s*(s+omega)*(1+e^-s))=1/(s*(s+omega))*(1-e^-s)/(1+e^-s)$
per quanto riguarda il primo fattore basta decomporre in fratti semplici,ma per la parte esponenziale che si fa?
${(y^{\prime}+omegay=(-1)^[[t]]),(y(0)=0):},omegainRR$
Trasformando,secondo Laplace,ambo i membri ho ottenuto $Y(s)=(1-e^-s)/(s*(s+omega)*(1+e^-s))=1/(s*(s+omega))*(1-e^-s)/(1+e^-s)$
per quanto riguarda il primo fattore basta decomporre in fratti semplici,ma per la parte esponenziale che si fa?
Risposte
N.B.
Nel calcolare la trasformata di Laplace del secondo membro ho ottenuto questo:
$1/(1-e^(-2s))*int_0^2e^(-st)*(-1)^[[t]]dt$
poi ho scisso l'integrale in due facendo la seguente considerazione:
in $0$ (estremo inferiore in $[0,1]$), $(-1)^[[t]]=1$,
in $1$ (estremo inferiore in $[1,2]$), $(-1)^[[t]]=-1$
pertanto l'integrale di sopra equivale a $int_0^1e^(-st)dt-int_1^2e^(-st)dt$
è giusto?
Nel calcolare la trasformata di Laplace del secondo membro ho ottenuto questo:
$1/(1-e^(-2s))*int_0^2e^(-st)*(-1)^[[t]]dt$
poi ho scisso l'integrale in due facendo la seguente considerazione:
in $0$ (estremo inferiore in $[0,1]$), $(-1)^[[t]]=1$,
in $1$ (estremo inferiore in $[1,2]$), $(-1)^[[t]]=-1$
pertanto l'integrale di sopra equivale a $int_0^1e^(-st)dt-int_1^2e^(-st)dt$
è giusto?
Per curiosità, che significano quelle parentesi quadre tra cui è racchiusa la $t$ all'esponente?
è la funzione parte intera (o mantissa)
$[t]$=massimo intero contenuto in $t$.
"Aeneas":
pertanto l'integrale di sopra equivale a $int_0^1e^(-st)dt-int_1^2e^(-st)dt$
è giusto?
Ok allora è giusto il procedimento. Stai applicando la formula per la trasformata unilatera di Laplace di segnali periodici.
si,ma non so proseguire nella parte exp
Hai sbagliato i conti. Fermo restando che il procedimento è esatto, prova a rifare i conti. Io li ho fatti e mi esce una cosa diversa da quella che hai scritto tu nel primo post.
Li ho rifatti e mi viene di nuovo così.
A te che viene?
A te che viene?
La trasformata del secondo membro è data da
$1/(1-e^(-2s)) (int_0^1e^(-st)dt - int_1^2e^(-st)dt)$
Ora notiamo che
$int_0^1e^(-st)dt = -(e^(-s))/s + 1/s$
$int_1^2e^(-st)dt = -(e^(-2s))/s + (e^(-s))/s$
e quindi
$int_0^1e^(-st)dt - int_1^2e^(-st)dt = -(e^(-s))/s + 1/s + (e^(-2s))/s - (e^(-s))/s = (1-2e^(-s)+e^(-2s))/s = (1-e^(-s))^2/s$
Quindi la trasformata del secondo membro è
$(1-e^(-s))^2/((1-e^(-2s))s)$
$1/(1-e^(-2s)) (int_0^1e^(-st)dt - int_1^2e^(-st)dt)$
Ora notiamo che
$int_0^1e^(-st)dt = -(e^(-s))/s + 1/s$
$int_1^2e^(-st)dt = -(e^(-2s))/s + (e^(-s))/s$
e quindi
$int_0^1e^(-st)dt - int_1^2e^(-st)dt = -(e^(-s))/s + 1/s + (e^(-2s))/s - (e^(-s))/s = (1-2e^(-s)+e^(-2s))/s = (1-e^(-s))^2/s$
Quindi la trasformata del secondo membro è
$(1-e^(-s))^2/((1-e^(-2s))s)$
Al denominatore hai una differenza di due quadrati $(1+e^(-s))*(1-e^(-s))$,semplifichi col numeratore e ottieni lo stesso mio risultato.
il problema è come antitrasformare quella cosa esponenziale..applicando la definizione?
il problema è come antitrasformare quella cosa esponenziale..applicando la definizione?
"Aeneas":
Al denominatore hai una differenza di due quadrati $(1+e^(-s))*(1-e^(-s))$,semplifichi col numeratore e ottieni lo stesso mio risultato.
Sì è vero, scusami, non avevo proprio visto la semplificazione.
Allora, vediamo un po'...
$Y(s) = (1-e^(-s))^2/((s+omega)(1-e^(-2s))s) = (1-e^(-s))^2/((s+omega)s) * 1/(1-e^(-2s))$
Il secondo fattore ci dice che $Y(s)$ è la trasformata (unilatera) di Laplace di un segnale periodico di periodo $2$.
Allora antitrasformiamo il primo fattore ed effettuiamone la replica periodica
$Y(s) = (1-e^(-s))^2/((s+omega)(1-e^(-2s))s) = (1-e^(-s))^2/((s+omega)s) * 1/(1-e^(-2s))$
Il secondo fattore ci dice che $Y(s)$ è la trasformata (unilatera) di Laplace di un segnale periodico di periodo $2$.
Allora antitrasformiamo il primo fattore ed effettuiamone la replica periodica
"Kroldar":
Allora, vediamo un po'...
$Y(s) = (1-e^(-s))^2/((s+omega)(1-e^(-2s))s) = (1-e^(-s))^2/((s+omega)s) * 1/(1-e^(-2s))$
Il secondo fattore ci dice che $Y(s)$ è la trasformata (unilatera) di Laplace di un segnale periodico di periodo $2$.
Allora antitrasformiamo il primo fattore ed effettuiamone la replica periodica
ok,ma come?
che significa effettuiamo la replica periodica?
Sono un po arruginito 
con i problemi di Cauchy, e non sono ancora molto ferrato 
con MathML, perciò vi prego di scusarmi per qualche scemata che potrei dire 
, però utilizzare le trasformate di laplace per un problemino così semplice mi sembra come cacciare le mosche con le bombe atomiche 
.
L'equazione omogenea associata y'+$omega$y=0 con $omega in RR$ è storia di analisi 1
, la soluzione e y=c$*e^(-omega*t)$ con c da calcolarsi in base alle condizioni iniziali.
Adesso la funzione $-1^[t]$ dove le parentesi quadre indicano chiaramente la funzione parte intera (
se così non fosse avremmo a che fare con esponenziali complessi, è chiaramente una funzione continua e costante negli intervalli chiusi aperti, [n, n+1) e vale 1 se n è pari e -1 se n e dispari. Inoltre è derivabile nel senso delle derivate deboli e la sua derivata è la funzione costante 0.
Utilizzando queste informazioni la possiamo mettere nell'equazione e otteniamo
0+$omega_0*(-1)^[t]=(-1)^[t]$ con $omega_0$=1
A questo punto metto insieme l'integrale generale e quello particoilare e ottengo la funzione
y(t)=$c*e^(-omega*t)+(-1)^[t]$ dove c per soddisfare la condizione iniziale deve valere -1.
Attenzione siccome la $(-1)^[t]$ non è continua in zero non siamo in grado di garantire l'unicità di questa soluzione!
con i problemi di Cauchy, e non sono ancora molto ferrato con MathML, perciò vi prego di scusarmi per qualche scemata che potrei dire , però utilizzare le trasformate di laplace per un problemino così semplice mi sembra come cacciare le mosche con le bombe atomiche .L'equazione omogenea associata y'+$omega$y=0 con $omega in RR$ è storia di analisi 1
, la soluzione e y=c$*e^(-omega*t)$ con c da calcolarsi in base alle condizioni iniziali. Adesso la funzione $-1^[t]$ dove le parentesi quadre indicano chiaramente la funzione parte intera (
se così non fosse avremmo a che fare con esponenziali complessi, è chiaramente una funzione continua e costante negli intervalli chiusi aperti, [n, n+1) e vale 1 se n è pari e -1 se n e dispari. Inoltre è derivabile nel senso delle derivate deboli e la sua derivata è la funzione costante 0.Utilizzando queste informazioni la possiamo mettere nell'equazione e otteniamo
0+$omega_0*(-1)^[t]=(-1)^[t]$ con $omega_0$=1
A questo punto metto insieme l'integrale generale e quello particoilare e ottengo la funzione
y(t)=$c*e^(-omega*t)+(-1)^[t]$ dove c per soddisfare la condizione iniziale deve valere -1.
Attenzione siccome la $(-1)^[t]$ non è continua in zero non siamo in grado di garantire l'unicità di questa soluzione!
Non l'ho specificato ma l'esercizio si dve risolvere con la trasformata di Laplace!
"alex231":
Attenzione siccome la $(-1)^[t]$ non è continua in zero non siamo in grado di garantire l'unicità di questa soluzione!
In $(0,+oo)$ la soluzione è sicuramente unica essendo la trasformazione di Laplace iniettiva.
Cosa stai analizzando scusa? Un circuito con un transitorio?
La trasformata di Laplace unilatera ha un senso anche in considerazione del fatto che io ho usato la derivata debole, ma mi rimane la perplessità su quella discontinuità a sinistra dello zero!
La trasformata di Laplace unilatera ha un senso anche in considerazione del fatto che io ho usato la derivata debole, ma mi rimane la perplessità su quella discontinuità a sinistra dello zero!
"alex231":
Cosa stai analizzando scusa? Un circuito con un transitorio?
L'esercizio postato non dice nulla. Potrebbe anche essere stato creato ad hoc e non avere alcuna interpretazione pratica.
"alex231":
La trasformata di Laplace unilatera ha un senso anche in considerazione del fatto che io ho usato la derivata debole, ma mi rimane la perplessità su quella discontinuità a sinistra dello zero!
Essendo la trasformata unilatera, quello che avviene a sinistra dello zero credo importi poco.
Questo genere di problemi solitamente richiede una soluzione in $(0,+oo)$.
Poi per $t<0$ sono d'accordo con te: nessuno ci assicura l'unicità.
"Aeneas":
Risolvere per $t>=0$ il seguente problema:
${(y^{\prime}+omegay=(-1)^[[t]]),(y(0)=0):},omegainRR$
Trasformando,secondo Laplace,ambo i membri ho ottenuto $Y(s)=(1-e^-s)/(s*(s+omega)*(1+e^-s))=1/(s*(s+omega))*(1-e^-s)/(1+e^-s)$
per quanto riguarda il primo fattore basta decomporre in fratti semplici,ma per la parte esponenziale che si fa?
mi sembra che sia chiaro che si debba risolvere per $t>=0$
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