Problema di cauchy
gente... problemino...
una delle tipologie di esercizi che posso incontrare negli scritti del mio prof è questa:
Determinare se la soluzione del seguente problema di cauchy è o meno definita su tutto $RR$
${(y'=x+siny),(y(0)=0):}$
questa non è lineare, quindi dato che è un macello svolgerla devo dedurre che il prof l'abbia messa per cattiveria o semplicemente perché non vuole che la svolgiamo ma che ne riconosciamo (a occhio come fa spesso lui con qualsiasi cosa gli passi per le mani...) il comportamento in base a elucubrazioni basate sulla nostra smisurata (umpf!) conoscenza della matematica???
Cioé... ci sono dei processi noti per capire queste cose o mi devo smazzare tutta la risoluzione che non so manco da che parte cominciare? Su tutti i testi che ho non ho mai trovato eq differenziali in cui compaia una $f(y)$... questa invece ha $siny$ che mi complica tutto... ho provato a svolgerla come se fosse una lineare, prima trovando la soluzione dell'omogenea, poi cercando di trovare la soluzione particolare ma mi ci sono troncato le corna e ho pensato che non fosse quello il metodo...
che posso fare?
graz...
una delle tipologie di esercizi che posso incontrare negli scritti del mio prof è questa:
Determinare se la soluzione del seguente problema di cauchy è o meno definita su tutto $RR$
${(y'=x+siny),(y(0)=0):}$
questa non è lineare, quindi dato che è un macello svolgerla devo dedurre che il prof l'abbia messa per cattiveria o semplicemente perché non vuole che la svolgiamo ma che ne riconosciamo (a occhio come fa spesso lui con qualsiasi cosa gli passi per le mani...) il comportamento in base a elucubrazioni basate sulla nostra smisurata (umpf!) conoscenza della matematica???
Cioé... ci sono dei processi noti per capire queste cose o mi devo smazzare tutta la risoluzione che non so manco da che parte cominciare? Su tutti i testi che ho non ho mai trovato eq differenziali in cui compaia una $f(y)$... questa invece ha $siny$ che mi complica tutto... ho provato a svolgerla come se fosse una lineare, prima trovando la soluzione dell'omogenea, poi cercando di trovare la soluzione particolare ma mi ci sono troncato le corna e ho pensato che non fosse quello il metodo...
che posso fare?
graz...
Risposte
Ovviamente non c'è bisogno di risolvere l'equazione. Per il teorema di esistenza e unicità globale
vale: se $f(x,y)$ continua in $RR^2$ e ivi lipschitziana a $y$, allora esiste $y(x)$ derivabile in $RR$ che risolve il problema di Cauchy.
In questo caso la condizione di lipschitzianità a $y$ mi sembra facile da verificare: $exists L: |x+siny_1-x-siny_2|<=L|y_1-y_2|$.
vale: se $f(x,y)$ continua in $RR^2$ e ivi lipschitziana a $y$, allora esiste $y(x)$ derivabile in $RR$ che risolve il problema di Cauchy.
In questo caso la condizione di lipschitzianità a $y$ mi sembra facile da verificare: $exists L: |x+siny_1-x-siny_2|<=L|y_1-y_2|$.
...Oppure per piccole oscillazioni... $sinyapproxy$... 
Scherzo... anche se questo tipo di cose le vedrai di sicuro poi... 
Scherzo... anche se questo tipo di cose le vedrai di sicuro poi...
gu 
che d'è???
aallllllora.... dopo un violento schock iniziale mi sono rimboccato le maniche e ho cercato di capire...
sono molto molto traballante sul merito, grazie della risposta ma ho bisogno di un buon numero di chiarimenti...
fatemi capire... lui mi dice: dimmi se la soluzione particolare del problema di cauchy è o meno definita su tutto $RR$...
ora vediamo se ci cavo qualcosa, correggetemi o puntualizzate se sbaglio... il problema di cauchy consiste nel trovare, all'interno di una funzione multivariata $f(x,y)$ un legame tra le due variabili... in tal modo non sono più indipendenti e il mio sistema si semplifica... that's right? Cioé voglio trovare una relazione $y(x)$ in modo da avere $f(x,y) => f(x,y(x)) => f(x,x) => f(x)$ ed ammazzare in questo modo una variabile...
Questa relazione posso individuarla soltanto conoscendola "alla lontana"... se conosco la sua derivata prima $y'$ e sono capace di integrarla posso ottenere una famiglia di primitive, e se conosco anche una determinata condizione sulla $y(x)$ (della serie $y(x_0)=y_0$...) allora posso anche ottenere una ben definita primitiva... e fin qui si parla di risolvere un "normale" problema di cauchy...
cioé se il prof mi avesse chiesto di risolvere una normale equazione differenziale a variabili separabili io mi trovavo la soluzione e poi andavo a vedere se questa era o meno a dominio su tutto $RR$, quindi se c'erano punti di discontinuità...
in questo caso invece non sono capace di integrare perché viene un macello... giuro, l'ho fatto!... ovvio che pretendere di sapere quale sia la soluzione è un po' troppo, ma il prof chiede... mi sai almeno dire se è definita su tutto $RR$?
quindi elgiovo dici che per il teorema di esistenza e unicità globale (?) se io ho una $f(x,y)$ continua in $RR^2$ e lipschitziana ad $y$ (giuro è cascato un presepe quando l'ho visto scritto...), allora esiste $y(x)$ derivabile in $RR$, quindi esiste la mia soluzione del problema di cauchy definita su tutto $RR$... quello che vuol sapere il prof...
quindi in questo caso devo controllare se la mia funzione è lipschitziana a y... significa cioè far vedere che la funzione che conosco è "più che continua", cioè che qualsiasi suo incremento è sempre e comunque inferiore ad un certo RATE... ovvero la sua derivata è sempre e comunque inferiore ad una certa costante che tu hai chiamato $L$... quindi da ciò che tu hai impostato deduco che puoi verificare la lipschitzianità della derivata $y'$ deducendone automaticamente la lipschitzianità della funzione primitiva $y$? A orecchio mi torna, ma se puoi confermare mi fai un piacere...
Ergo quali che siano i due punti $y_1$ ed $y_2$ che io assumo, se $|siny_1-siny_2|<= L|y_1-y_2|$ allora la soluzione del mio problema è definita su tutto $RR$
e quindi è facile notare che $frac|siny_1-siny_2||y_1-y_2| = frac (Deltasiny)(Deltay)$ che all'infinitesimo diventa $frac(dsiny)(dy)<=L$ ma questo conoscendo il comportamento della funzione seno è ovvio che sia vero, perché la derivata massima di $siny$ è 1 per $y=0$...
Se ho detto qualche castronata avrei piacere di essere corretto... puntualizzazioni benvenute.
P.S: penso di aver intuito il perché, ma non mi riesce di farmene un idea concisa... perché studio SOLO la lipschitzianità ad y e me ne sbatto di cosa fa ad x???
P.S: scusate se scrivo tanto... è che tra non molto ho l'esame e trovarmi col fianco così tanto scoperto mi fa scattare la parlantina... hihihi
che d'è???aallllllora.... dopo un violento schock iniziale mi sono rimboccato le maniche e ho cercato di capire...
sono molto molto traballante sul merito, grazie della risposta ma ho bisogno di un buon numero di chiarimenti...
fatemi capire... lui mi dice: dimmi se la soluzione particolare del problema di cauchy è o meno definita su tutto $RR$...
ora vediamo se ci cavo qualcosa, correggetemi o puntualizzate se sbaglio... il problema di cauchy consiste nel trovare, all'interno di una funzione multivariata $f(x,y)$ un legame tra le due variabili... in tal modo non sono più indipendenti e il mio sistema si semplifica... that's right? Cioé voglio trovare una relazione $y(x)$ in modo da avere $f(x,y) => f(x,y(x)) => f(x,x) => f(x)$ ed ammazzare in questo modo una variabile...
Questa relazione posso individuarla soltanto conoscendola "alla lontana"... se conosco la sua derivata prima $y'$ e sono capace di integrarla posso ottenere una famiglia di primitive, e se conosco anche una determinata condizione sulla $y(x)$ (della serie $y(x_0)=y_0$...) allora posso anche ottenere una ben definita primitiva... e fin qui si parla di risolvere un "normale" problema di cauchy...
cioé se il prof mi avesse chiesto di risolvere una normale equazione differenziale a variabili separabili io mi trovavo la soluzione e poi andavo a vedere se questa era o meno a dominio su tutto $RR$, quindi se c'erano punti di discontinuità...
in questo caso invece non sono capace di integrare perché viene un macello... giuro, l'ho fatto!... ovvio che pretendere di sapere quale sia la soluzione è un po' troppo, ma il prof chiede... mi sai almeno dire se è definita su tutto $RR$?
quindi elgiovo dici che per il teorema di esistenza e unicità globale (?) se io ho una $f(x,y)$ continua in $RR^2$ e lipschitziana ad $y$ (giuro è cascato un presepe quando l'ho visto scritto...), allora esiste $y(x)$ derivabile in $RR$, quindi esiste la mia soluzione del problema di cauchy definita su tutto $RR$... quello che vuol sapere il prof...
quindi in questo caso devo controllare se la mia funzione è lipschitziana a y... significa cioè far vedere che la funzione che conosco è "più che continua", cioè che qualsiasi suo incremento è sempre e comunque inferiore ad un certo RATE... ovvero la sua derivata è sempre e comunque inferiore ad una certa costante che tu hai chiamato $L$... quindi da ciò che tu hai impostato deduco che puoi verificare la lipschitzianità della derivata $y'$ deducendone automaticamente la lipschitzianità della funzione primitiva $y$? A orecchio mi torna, ma se puoi confermare mi fai un piacere...
Ergo quali che siano i due punti $y_1$ ed $y_2$ che io assumo, se $|siny_1-siny_2|<= L|y_1-y_2|$ allora la soluzione del mio problema è definita su tutto $RR$
e quindi è facile notare che $frac|siny_1-siny_2||y_1-y_2| = frac (Deltasiny)(Deltay)$ che all'infinitesimo diventa $frac(dsiny)(dy)<=L$ ma questo conoscendo il comportamento della funzione seno è ovvio che sia vero, perché la derivata massima di $siny$ è 1 per $y=0$...
Se ho detto qualche castronata avrei piacere di essere corretto... puntualizzazioni benvenute.
P.S: penso di aver intuito il perché, ma non mi riesce di farmene un idea concisa... perché studio SOLO la lipschitzianità ad y e me ne sbatto di cosa fa ad x???
P.S: scusate se scrivo tanto... è che tra non molto ho l'esame e trovarmi col fianco così tanto scoperto mi fa scattare la parlantina... hihihi
Giusto. La soluzione esiste. Penso che non esista il modo di risolvere l'equazione (ho chiesto anche al Mathematica della Wolfram).
bono... è già qualcosa...
e con queste cosa mi invento???
la prima non sembra impossibile da risolvere:
${(y'=x^2+y^2),(y(0)=1):}$
ho pensato di fare allo stesso modo... $|x^2 + y_1^2 - x^2 - y_2^2|<=|y_1-y_2|$
cioé $frac(d(y^2))(dy)<=L => 2y<=L$ quindi a occhio e croce sembrerebbe di no... che non sia definita su tutto $RR$, dato che la derivata aumenta continuamente... però mi sta sorgendo un dubbio... delle condizioni iniziali del problema di cauchy fino ad ora non me ne sono fatto di niente... e la cosa mi puzza... parecchio... che mi dite? Non è che magari le devo "schioccare" da qualche parte?
La seconda è più rognosa... ci ho provato ma mi sono incatagnato...
${(y'=y+sqrt(x^2+y^2)),(y(0)=2):}$
aiuttto!
a me viene una cosa del tipo $frac|sqrt(x^2+y_1^2) - sqrt(x^2+y_2^2)||y_1-y_2|<=L-1$
e mo?!?
e con queste cosa mi invento???
la prima non sembra impossibile da risolvere:
${(y'=x^2+y^2),(y(0)=1):}$
ho pensato di fare allo stesso modo... $|x^2 + y_1^2 - x^2 - y_2^2|<=|y_1-y_2|$
cioé $frac(d(y^2))(dy)<=L => 2y<=L$ quindi a occhio e croce sembrerebbe di no... che non sia definita su tutto $RR$, dato che la derivata aumenta continuamente... però mi sta sorgendo un dubbio... delle condizioni iniziali del problema di cauchy fino ad ora non me ne sono fatto di niente... e la cosa mi puzza... parecchio... che mi dite? Non è che magari le devo "schioccare" da qualche parte?
La seconda è più rognosa... ci ho provato ma mi sono incatagnato...
${(y'=y+sqrt(x^2+y^2)),(y(0)=2):}$
aiuttto!
a me viene una cosa del tipo $frac|sqrt(x^2+y_1^2) - sqrt(x^2+y_2^2)||y_1-y_2|<=L-1$
e mo?!?
Riguardo l'ultimo problema di Cauchy postato, è più conveniente rifarsi ad un corollario del teorema suddetto di esistenza e unicità globale,
poichè sussistono le condizioni
1) $f(x,y)=y+sqrt(x^2+y^2)$ è continua su $RR^2$;
2) $|(del f(x,y))/(dely)|=|1+y/sqrt(x^2+y^2)|<=2$ $forall (x,y) in RR^2$, ovvero $|(del f(x,y))/(dely)|$ è limitata su $RR^2$
il problema di Cauchy ammette soluzione unica su $RR$.
poichè sussistono le condizioni
1) $f(x,y)=y+sqrt(x^2+y^2)$ è continua su $RR^2$;
2) $|(del f(x,y))/(dely)|=|1+y/sqrt(x^2+y^2)|<=2$ $forall (x,y) in RR^2$, ovvero $|(del f(x,y))/(dely)|$ è limitata su $RR^2$
il problema di Cauchy ammette soluzione unica su $RR$.
"maxster180":
e quindi è facile notare che $frac|siny_1-siny_2||y_1-y_2| = frac (Deltasiny)(Deltay)$ che all'infinitesimo diventa $frac(dsiny)(dy)<=L$ ma questo conoscendo il comportamento della funzione seno è ovvio che sia vero, perché la derivata massima di $siny$ è 1 per $y=0$...
non ho capito la lipschitzianità della funzione.... non deve essere globale?
$frac{sink(pi/2)}{k(pi/2)}$ non diverge?
no no ho spulciato un po' di spiegazioni sul teorema di esistenza e unicità e parla di lipschitzianità ad $y$, quindi quando si chiede che sia globalmente lipschitziana si intende che deve esserlo per $y$ su tutto $RR$, e non soltanto su un intervallo... questo perché $x$ può essere anche definita soltanto su un intervallo, mentre se noi vogliamo una funzione $y=f(x)$ definita su tutto $RR$ è proprio della $y$ che ci dobbiamo preoccupare che sia lipschitziana...
P.S: edddaai nebula, non mi fare casino anche te che già non so bono di mio!!! hihi... dai a parte gli scherzi grazie perché con questa "provocazione" mi hai spinto a cercare ancora... prima che tu sollevassi il problema non lo avevo chiaro neanche io...
P.S: edddaai nebula, non mi fare casino anche te che già non so bono di mio!!! hihi... dai a parte gli scherzi grazie perché con questa "provocazione" mi hai spinto a cercare ancora... prima che tu sollevassi il problema non lo avevo chiaro neanche io...
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