Problema di cauchy

[jimivanzar]

come si calcola il seguente problema di cauchy con eq. diff. di grado secondo??

$y''(x) - 4 y'(x) + 5y(x) = 0$

$y(0)=0$

$y'(0)=2$

grazie infinite

[Sk_Anonymous]

ODE del II ordine, omogenea a coefficienti costanti. Cerchiamone le soluzioni in $C^2((a,b))$, dove $(a,b) \subseteq \mathbb{R}$ è un qualche intervallo aperto contenente lo $0$. Determiniamo gli zeri del polinomio caratteristico $P(\lambda) =\lambda^2 - 4\lambda + 5$. Vale $P(\lambda) = 0$ sse $\lambda = 2 \pm i$, perciocché $P(\lambda) = (\lambda - 2 + i)(\lambda - 2 - i)$. La teoria garantisce allora che l'insieme delle soluzioni dell'equazione differenziale è un sottospazio 2-dimensionale di $C^2((a,b))$ generato dalle funzioni $x \to e^{2x} \cos(x)$ ed $x \to e^{2x} \sin(x)$, di modo che, se $y: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ risolve l'equazione, allora $y(x) = e^{2x} (a $ $\cos(x) + b$ $ \sin(x))$, e viceversa, essendo $a, b \in \mathbb{R}$. Ora... Se $y(0) = 0$ ed $y'(0) = 2$, banalmente $a = 0$ e $b = 2$, per cui $y(x) = e^{2x} \sin(x)$ identicamente in $(a,b)$. Il che risolve il problema di Cauchy...

[jimivanzar]

sei un mitooooooooooooo