Problema di Cauchy....

[eMiliu]

Ho questa equazione differenziale: y'=$(1+y^2)x^2$ e queste condizioni iniz.: $y(0)=0$

io procedo così:

$(dy/dx)=(1+y^2)x^2$ --> $dy/(1+y^2)=x^2dx$ ---> faccio l'integrale da 0 a y della parte in dy e l'integrale da 0 a x della parte in dx, risultato: $y=tan((x^3)/3)

ora, mi si chiede di dire qual'e' il piu' grande intervallo su cui e' definita la soluzione (motivare la risposta)...

che vuol dire???

[cavallipurosangue]

Praticamente devi vedere quale è il dominio della funzione trovata, stando attento a controllare che le condizioni iniziali siano contenute in tale intervallo...

[eMiliu]

Potresti essere un pò più chiaro???

[cavallipurosangue]

Quello che violevo dire è che una volta che trovi una soluzione non è detto che questa sia definita su tutto $RR$, infatti è pur sempre una funzione...
Al massimo la soluzione avrà intervallo massimale minore o uguale al dominio della funzione, infatti quella può terminare il suo intervallo massimale per due motivi: o finisce sul bordo del dominio di $f$, oppure finisce perchè presenta un andamento asintotico verticale. Ok.
In questo caso dobbiamo prender in cosiderazione il secondo punto, infatti la funzione tangente è definita su tutto $RR$, a meno di alcuni punti periodici ossia tutti quei punti $x=k\pi/2$. Quindi abbiamo infiniti "potenziali" intervalli massimali. Per l'unicità della soluzione del problema di Cauchy, però solamente uno di questi intervalli andrà bene e chiaramente sarà uno di quelli che contiene al suo interno i valori iniziali, in questo caso il punto $x=0$, quindi l'intervallo cercato sarà:
$-\pi/2\lex^3/3\le\pi/2=>-\root{3}{3/2\pi}\lex\leroot{3}{3/2\pi}

[eMiliu]

In questo caso dobbiamo prender in cosiderazione il secondo punto, infatti la funzione tangente è definita su tutto $RR$, a meno di alcuni punti periodici ossia tutti quei punti $x=k\pi/2$. Quindi abbiamo infiniti "potenziali" intervalli massimali.

Perchè abbiamo preso $x=k\pi/2$???

[cavallipurosangue]

$k\pi/2$ è un qualsiasi punto che abbia come multiplo $\pi/2$, non è un punto preciso. Può esser $\pi/2,3/2\pi,5/2pi$ ecc...
Ricordando che n è un numero appartenente all'insieme dei relativi dispari. Oppure puoi dire, forse più semplicemente, che i punti sono $x=\pi/2+n\pi$ dove n è un numero relativo qualsiasi. Insomma non mi sembra questo il vero problema dell'esercizio.

[eMiliu]

Ok... capito!!!Grazie