Problema di Cauchy

[mery3000]

Risolvere il problema di Cauchy:
y'+1/x(y)=x^3
y(1)=2
La parentesi alla y nella prima eq non c'è, l'ho messa x far capire che non sta al denominatore con la x ma è al numeratore.

[ciampax]

Il problema di Cauchyè il seguente

[math]\left\{\begin{array}{l}
y'+\frac{1}{x}\ y=x^3\\ \\ y(1)=2
\end{array}\right.[/math]

L'equazione differenziale è una equazione lineare. Per risolverla puoi procedere al modo seguente: indica con

[math]a(x)=\frac{1}{x},\qquad b(x)=x^3[/math]

Allora se

[math]A(x)=\int a(x)\ dx=\log|x|[/math]

e poni

[math]h(x)=e^{A(x)}=e^{\log|x|}=x[/math]

, ottieni, moltiplicando ambo i memebri dell'equazione per

[math]h(x)[/math]

[math]x y'+y=x^4[/math]

che può scriversi come

[math](x\cdot y)'=x^4[/math]

Integrando ora tra

[math]1[/math]

e

[math]x[/math]

otteniamo

[math]\int_1^x (s\cdot y(s))'\ ds=\int_1^x s^4\ ds[/math]

[math][s\cdot y(s)]_1^x=\left[\frac{s^5}{5}\right]_1^x[/math]

[math]x\cdot y(x)-y(1)=\frac{x^5}{5}-\frac{1}{5}[/math]

e quindi

[math]y(x)=\frac{1}{x}\left(\frac{x^5}{5}+\frac{9}{5}\right)=\frac{x^5+9}{5x}[/math]