Problema di cauchy
Buongiorno, stavo cercando di risolvere il seguente problema di Cauchy:
Il testo chiede:
Verificare che ammette una e una sola soluzione e che essa è definita su tutto R. Tracciarne quindi un grafico qualitativo e discuterne l'integrabilità (in senso improprio) su (-0,0).
Alla prima domanda ho risolto con il teorema di esistenza e unicità (la funzione è di classe C1 su R), per quanto riguarda il grafico qualitativo y=0 e y=pigreco sono soluzioni costanti dell'equazione, quindi non possono mai essere intersecate da quella non costante (per il teorema di esistenza e unicità), la derivata in quell'intervallo è sempre positiva e quindi al funzione è sempre crescente.
Ho però delle domande sull'ultimo punto:
io ho provato a risolverlo così (ma non ne sono affatto sicuro): guardando il grafico posso vedere che y->0 per x divergente a meno infinito, dunque l'integrale con y che ottengo separando le variabili ha lo stesso carattere dell integrale di
che è pari a
Grazie mille per la disponibilità e buona giornata!
[math]\begin{cases}
y' = \exp(x^2) \cdot \sin y \\
y(0) = 2
\end{cases}[/math]
y' = \exp(x^2) \cdot \sin y \\
y(0) = 2
\end{cases}[/math]
Il testo chiede:
Verificare che ammette una e una sola soluzione e che essa è definita su tutto R. Tracciarne quindi un grafico qualitativo e discuterne l'integrabilità (in senso improprio) su (-0,0).
Alla prima domanda ho risolto con il teorema di esistenza e unicità (la funzione è di classe C1 su R), per quanto riguarda il grafico qualitativo y=0 e y=pigreco sono soluzioni costanti dell'equazione, quindi non possono mai essere intersecate da quella non costante (per il teorema di esistenza e unicità), la derivata in quell'intervallo è sempre positiva e quindi al funzione è sempre crescente.
Ho però delle domande sull'ultimo punto:
io ho provato a risolverlo così (ma non ne sono affatto sicuro): guardando il grafico posso vedere che y->0 per x divergente a meno infinito, dunque l'integrale con y che ottengo separando le variabili ha lo stesso carattere dell integrale di
[math]\frac{1}{t}[/math]
che è pari a
[math]\log\left(\frac{y}{2}\right)[/math]
, invertendo ottengo che [math]y = 2 \cdot e^{\int_{0}^{x} e^{x^2} dx}[/math]
che non converge per x che tende a meno infinito, quindi la funzione non è integrabile?Grazie mille per la disponibilità e buona giornata!
Risposte
Correzione, nella domanda originale ho scritto di valutare l'integrabilità tra (-0,0), in realtà è tra
Grazie ancora!
[math](-\infty, 0)[/math]
, scusate per l'errore.Grazie ancora!
Mi sembra che torni tutto fino al calcolo approssimato di y per valori di x tendenti a -∞.
L'ultima affermazione però direi che non è corretta. Il valore di y così calcolato converge a zero per x tendente a -∞(come è giusto visto quanto scritto in precedenza) e per giunta come infinitesimo maggiore di qualunque forma di tipo 1/x^n. Per cui concluderei che la funzione è integrabile in senso improprio.
Nota: la soluzione esatta, molto simile a quella approssimata, è
L'ultima affermazione però direi che non è corretta. Il valore di y così calcolato converge a zero per x tendente a -∞(come è giusto visto quanto scritto in precedenza) e per giunta come infinitesimo maggiore di qualunque forma di tipo 1/x^n. Per cui concluderei che la funzione è integrabile in senso improprio.
Nota: la soluzione esatta, molto simile a quella approssimata, è
[math]y=2\cdot\tan^{-1}\left(\tan\left(1\right)\cdot\mathrm{e}^{\int_0^{_{x}}t^2dt}\right)[/math]
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