Problema di Cauchy
Preso il problema di Cauchy $\{(y'=(1-y^2)/(ysqrt(16t^3))),(y(2)=-2):}$ la soluzione massimale è $y=-sqrt(3e^(1/sqrt(t)-1/sqrt(2))+1$ con $tin(0,+\infty)$ (intervallo massimale), qualcuno mi conferma?
Risposte
Boh, vediamo...
Le soluzioni stazionarie $y_**(t) = -1$ ed $y^**(t) = 1$ della EDO non risolvono il P.d.C.; dato che il secondo membro $f(t,y) := (1 - y^2)/(4y sqrt(t^3))$ è localmente lipschitziano nell'aperto $Omega := ]0,+oo[ xx (RR \setminus \{ 0\})$ c'è regime di unicità locale e, dato che $(2,-2) in Omega$ e che $y(2) = -2 < -1$, la soluzione massimale del P.d.C. sta tutta sotto $y_**$, cioè risulta $y(t) <-1$ ovunque ed anche $1-y^2(t) < 0$.
Sfruttando il T.F.d.C.I. hai:
$int_(-2)^(y(t)) (2eta)/(1-eta^2) "d" eta = int_2^t 1/2 tau^(-3/2) "d" tau$
ossia (integrale del logaritmo da un lato ed integrale della potenza dall'altro):
$int_(-2)^(y(t)) -(2eta)/(1-eta^2)"d" eta = [1/sqrt(tau) ]_(2)^t$
da cui (tenendo presenti anche le informazioni sul segno di $1-y^2(t)$):
$[ log (eta^2 -1) ]_(-2)^(y(t)) = 1/sqrt(t) - 1/sqrt(2) \quad =>\quad log ((y^2 (t) - 1)/3) = 1/sqrt(t) - 1/sqrt(2)$
che implica:
$y^2(t) = 1 + 3 exp(1/sqrt(t) - 1/sqrt(2))$
e per le informazioni sul segno di $y(t)$:
$y(t) = - sqrt(1 + 3 exp(1/sqrt(t) - 1/sqrt(2)))$,
che è proprio quella che hai trovato tu.
Le soluzioni stazionarie $y_**(t) = -1$ ed $y^**(t) = 1$ della EDO non risolvono il P.d.C.; dato che il secondo membro $f(t,y) := (1 - y^2)/(4y sqrt(t^3))$ è localmente lipschitziano nell'aperto $Omega := ]0,+oo[ xx (RR \setminus \{ 0\})$ c'è regime di unicità locale e, dato che $(2,-2) in Omega$ e che $y(2) = -2 < -1$, la soluzione massimale del P.d.C. sta tutta sotto $y_**$, cioè risulta $y(t) <-1$ ovunque ed anche $1-y^2(t) < 0$.
Sfruttando il T.F.d.C.I. hai:
$int_(-2)^(y(t)) (2eta)/(1-eta^2) "d" eta = int_2^t 1/2 tau^(-3/2) "d" tau$
ossia (integrale del logaritmo da un lato ed integrale della potenza dall'altro):
$int_(-2)^(y(t)) -(2eta)/(1-eta^2)"d" eta = [1/sqrt(tau) ]_(2)^t$
da cui (tenendo presenti anche le informazioni sul segno di $1-y^2(t)$):
$[ log (eta^2 -1) ]_(-2)^(y(t)) = 1/sqrt(t) - 1/sqrt(2) \quad =>\quad log ((y^2 (t) - 1)/3) = 1/sqrt(t) - 1/sqrt(2)$
che implica:
$y^2(t) = 1 + 3 exp(1/sqrt(t) - 1/sqrt(2))$
e per le informazioni sul segno di $y(t)$:
$y(t) = - sqrt(1 + 3 exp(1/sqrt(t) - 1/sqrt(2)))$,
che è proprio quella che hai trovato tu.
Perfetto, grazie mille.
"andreadel1988":
Perfetto, grazie mille.
Prego... Intanto ho modificato un po' il post, perché gli integrali erano più semplici di quanto li avevo fatti.
"gugo82":
Prego... Intanto ho modificato un po' il post, perché gli integrali erano più semplici di quanto li avevo fatti.
A ok non ti preoccupare.
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