Problema di cauchy

[itisscience]

poichè nel problema di cauchy $ { ( x'=|x|cost-sint ),( x(0)=1 ):} $ noto che $ x=0 $ è una soluzione dell'equazione differenziale, posso ignorare il valore assoluto e risolvere questo problema di cauchy $ { ( x'=xcost-sint ),( x(0)=1 ):} $
se invece avessi avuto ad esempio "-1" come soluzione di un equazione differenziale con valore assoluto, allora potevo risolvere il problema di cauchy togliendo il valore assoluto e considerando $ |x|=-x $ ?

[ghira1]

"itisscience":poichè nel problema di cauchy $ { ( x'=|x|cost-sint ),( x(0)=1 ):} $ noto che $ x=0 $ è una soluzione dell'equazione differenziale,

Ma $x(0)=1$. Forse non sto capendo.

[itisscience]

sì però l'intervallo massimale deve contenere l'istante iniziale, lo 0, che infatti è soluzione dell'equazione differenziale. e poichè la condizione iniziale ci dice che x(0)=1 per il teorema di unicità delle soluzioni dei problemi di cauchy, concludo che ogni soluzione del PdC sarà positiva quindi ignoro il valore assoluto
o sbaglio?

[pilloeffe]

Ciao itisscience,

"itisscience":noto che $x=0$ è una soluzione dell'equazione differenziale

No, questo è falso: se sostituisci $x(t) = 0 \implies x'(t) = 0 $ nell'equazione differenziale lo vedi subito che non è una soluzione, a meno che non manchino delle parentesi e l'equazione differenziale sia in realtà $x' = |x|(cos t - sin t) $

[itisscience]

sì mancava la parentesi, perdonatemi. quindi quello che ho detto per x=0 e per x=-1 è vero?

[pilloeffe]

In tal caso sì, $x(t) = 0$ è una soluzione dell'equazione differenziale, ma non del PdC vista la condizione $x(0) = 1 $. Poi per $x(t) > 0 $ la soluzione dell'equazione differenziale (a variabili separabili) con la condizione $x(0) = 1 > 0 $ mi risulta essere la seguente:

$x(t) = e^{sin t + cos t - 1} $

[itisscience]

ottengo la stessa soluzione. quindi per sbarazzarmi del valore assoluto vedo il segno dell'istante di tempo iniziale, grazie