Problema di Cauchy
Buongiorno, ho serie difficoltà con questo problema di Cauchy
$\{(y'=(x^2y+2xy^2-y^3)/(2y^3-xy^2+x^3)),(y(0)=1):}$
Infatti non riesco a capire a quale forma "nota" dovrei ricondurmi per determinare la soluzione.
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Grazie
$\{(y'=(x^2y+2xy^2-y^3)/(2y^3-xy^2+x^3)),(y(0)=1):}$
Infatti non riesco a capire a quale forma "nota" dovrei ricondurmi per determinare la soluzione.
Qualcuno potrebbe darmi una mano?
Grazie
Risposte
[xdom="gugo82"]Formule scritte male.
Correggi o chiudo.[/xdom]
Correggi o chiudo.[/xdom]
Ho corretto come da richiesta, ma come avevo notato nel momento della scrittura iniziale il testo diventa molto piccolo.
È una EDO a secondo membro omogeneo.
Si risolve con una sostituzione standard, $y(x) = x * u(x)$. Trovi i dettagli su ogni testo sensato di Analisi II.
Si risolve con una sostituzione standard, $y(x) = x * u(x)$. Trovi i dettagli su ogni testo sensato di Analisi II.
[size=150]$\{(y'=(x^2y+2xy^2-y^3)/(2y^3-xy^2+x^3)),(y(0)=1):}$[/size]
Ti va bene così?
Ti va bene così?
"gugo82":
È una EDO a secondo membro omogeneo.
Si risolve con una sostituzione standard, $y(x) = x * u(x)$. Trovi i dettagli su ogni testo sensato di Analisi II.
http://web.math.unifi.it/users/dionisi/ ... i3/EDO.pdf
ho seguito la spiegazione del paragrafo $2.3$ pag $5$ del pdf
Ottengo $P(x,xz)=x^3(-z-2z^2+z^3)$ e $Q(x,zx)=x^3(2z^3-z^2+1)$
seguendo la formula ottengo
$int ((2z^3-z^2+1)/(2z^4-2z^2))dz = -ln|x|+c$
e risolvendo (ho controllato anche online e sembra corretto) ottengo
$ln(sqrt(|1-z^2|))+1/(2z)=-ln|x|+c$
Sostituendo tuttavia $z=y/x$ trovo
$ln(sqrt(|1-(y/x)^2|))+1/(2(y/x))=-ln|x|+c$
che è impossibile con le condizioni iniziali date (che sono sicuro sono copiate correttamente)
Ho sbagliato io ad applicare come seguire la via suggerita oppure vi è un errore nel testo iniziale? (magari $y(1)=0$)
Grazie
Ale, si studia dai libri, non raccattando materiale in giro per la rete.
Poi, è evidente che la tua c.i. non significa nulla perché il punto iniziale $(0,0)$ è fuori dal dominio della EDO.
Quindi hai due strade: o lo prendi come errore di battitura e ti risolvi un P.d.C. con condizioni inventate da te; oppure interpreti la condizione come $lim_(x -> 0) y(x)$ e vedi che ne esce.
Poi, è evidente che la tua c.i. non significa nulla perché il punto iniziale $(0,0)$ è fuori dal dominio della EDO.
Quindi hai due strade: o lo prendi come errore di battitura e ti risolvi un P.d.C. con condizioni inventate da te; oppure interpreti la condizione come $lim_(x -> 0) y(x)$ e vedi che ne esce.
Hai ragione, ma purtroppo essendo in Zona Rossa non posso neppure recuperare i testi in biblioteca!
Ciò che non ho capito è se ho comunque fatto correttamente la risoluzione ma sia sbagliata la condizione iniziale oppure è sbagliato il procedimento iniziale alla base
Grazie
Ciò che non ho capito è se ho comunque fatto correttamente la risoluzione ma sia sbagliata la condizione iniziale oppure è sbagliato il procedimento iniziale alla base
Grazie
Anche qui siamo in zona rossa e le biblioteche universitarie sono accessibili, se non erro...
Per il resto, scusa, stavolta ho sbagliato io a leggere: il punto iniziale è $(0,1)$ (non $(0,0)$ come ho erroneamente scritto sù) ed appartiene al dominio della EDO.
Visto che il secondo membro della EDO è di classe $C^oo$ nel suo dominio, la soluzione massimale del P.d.C. con c.i. $y(0)=1$ esiste ed è unica.
Chiaramente, il problema qui è la sostituzione: infatti, quando fai i calcoli con un P.d.C. è buona norma trasformare anche la c.i. (o le cc.ii.) in una condizione (o in condizioni) sulla nuova incognita; tuttavia, in questo caso inserendo i dati iniziali nella sostituzione $y(x) = x*u(x)$ si ottiene $1=0*u(0)$, che è un'equazione impossibile in $u(0)$.
Questo problema usualmente si risolve cercando di riscrivere la soluzione (o la sua forma implicita), in maniera da eliminare i "pezzi" che algebricamente danno fastidio.
Puoi riscrivere la soluzione in modo da eliminare il "pezzo" $log |x|$ che dà fastidio?
Per il resto, scusa, stavolta ho sbagliato io a leggere: il punto iniziale è $(0,1)$ (non $(0,0)$ come ho erroneamente scritto sù) ed appartiene al dominio della EDO.
Visto che il secondo membro della EDO è di classe $C^oo$ nel suo dominio, la soluzione massimale del P.d.C. con c.i. $y(0)=1$ esiste ed è unica.
Chiaramente, il problema qui è la sostituzione: infatti, quando fai i calcoli con un P.d.C. è buona norma trasformare anche la c.i. (o le cc.ii.) in una condizione (o in condizioni) sulla nuova incognita; tuttavia, in questo caso inserendo i dati iniziali nella sostituzione $y(x) = x*u(x)$ si ottiene $1=0*u(0)$, che è un'equazione impossibile in $u(0)$.
Questo problema usualmente si risolve cercando di riscrivere la soluzione (o la sua forma implicita), in maniera da eliminare i "pezzi" che algebricamente danno fastidio.
Puoi riscrivere la soluzione in modo da eliminare il "pezzo" $log |x|$ che dà fastidio?
Si ma purtroppo è distante da dove abito e dunque non mi è facile spostarmi!
Allora $z=y/x$ non esiste se $x=0$ e $y(0)=1$ e dunque anche $ln(sqrt(1-z^2))$ e $ln|x|$ non esistono...
Onestamente non saprei come poter aggirare questo problema se non forse considerare una sviluppo di Taylor di $ln|x| $ e $ln(sqrt(1-z^2))$?
Grazie
Allora $z=y/x$ non esiste se $x=0$ e $y(0)=1$ e dunque anche $ln(sqrt(1-z^2))$ e $ln|x|$ non esistono...
Onestamente non saprei come poter aggirare questo problema se non forse considerare una sviluppo di Taylor di $ln|x| $ e $ln(sqrt(1-z^2))$?
Grazie
Perché non lavori con $ln(sqrt(|1-(y/x)^2|))+1/(2(y/x))=-ln|x|+c$?
Allora qui con le condizioni iniziali non posso andare avanti.
$ln|x|$ non esiste però non mi viene in mente nulla su come potrei evitare questo fatto e allo stesso modo $(y/x)^2$ non esiste...
Sinceramente è la prima volta che mi trovo in una situazione del genere, avevo pensato magari di usare degli sviluppi... però presumo sia la via errata...
Tuttavia
$ln|x|$ non esiste però non mi viene in mente nulla su come potrei evitare questo fatto e allo stesso modo $(y/x)^2$ non esiste...
Sinceramente è la prima volta che mi trovo in una situazione del genere, avevo pensato magari di usare degli sviluppi... però presumo sia la via errata...
Tuttavia
Fai due calcoli e semplifica... Che ci vuole?
Ma non mi stanno vendendo in mente questi "2 calcoli" da semplificare...
Altrimenti avrei già fatto... cioè non riesco a capire cosa c'è di evidente che potrei manipolare per evitare problemi
Altrimenti avrei già fatto... cioè non riesco a capire cosa c'è di evidente che potrei manipolare per evitare problemi
"gugo82":
Fai due calcoli e semplifica... Che ci vuole?
Mi è solo venuto in mente di fare cosi
$ln(sqrt(|1-(y/x)^2|)*|x|)+1/2*(x/y)=c$
$ln(sqrt(|1-(y/x)^2|)*sqrt(x^2))+1/2*(x/y)=c$
$ln(sqrt(|(1-(y/x)^2)*x^2|))+1/2*(x/y)=c$
$ln(sqrt(|x^2-y^2|))+1/2*(x/y)=c$
$ln(sqrt(|0-1|))+1/2*(0/1)=c$
$c=0$
Dunque la soluzione sarebbe
$ln(sqrt(|1-(y/x)^2|))+ln|x|+1/2*(x/y)=0$
Ma non so se sia corretto.
non ho purtroppo capito se il mio tentativo di aggirare il problema era poi corretto oppure errato.
Grazie
Grazie
Sì, Ale, giusto.
Ma la soluzione in forma implicita puoi riscriverla in modo da evitare casini per $x=0$ usando la forma che hai rimaneggiato usando un po’ di algebra.
In altre parole, hai:
$log sqrt(|x^2 - y^2|) + x/(2y) = 0$
e, dato che intorno al punto iniziale hai $y(x) > x$, puoi localmente eliminare il v.ass. ottenendo:
$log sqrt(y^2 - x^2)+ x/(2y) = 0$
ossia:
$log (y^2 - x^2) + x/y= 0$
che è l’equazione implicita della soluzione locale del P.d.C.
P.S.: In realtà stavo scrivendo una risposta più complessa. Appena trovo il tempo di terminarla, la posto.
Ma la soluzione in forma implicita puoi riscriverla in modo da evitare casini per $x=0$ usando la forma che hai rimaneggiato usando un po’ di algebra.
In altre parole, hai:
$log sqrt(|x^2 - y^2|) + x/(2y) = 0$
e, dato che intorno al punto iniziale hai $y(x) > x$, puoi localmente eliminare il v.ass. ottenendo:
$log sqrt(y^2 - x^2)+ x/(2y) = 0$
ossia:
$log (y^2 - x^2) + x/y= 0$
che è l’equazione implicita della soluzione locale del P.d.C.
P.S.: In realtà stavo scrivendo una risposta più complessa. Appena trovo il tempo di terminarla, la posto.
Posso sfruttare il fatto che $y(0)=1>0=x$ già qui per togliere il Modulo?
$ln(sqrt(|1-(y/x)^2|)*|x|)+1/2*(x/y)=c$
$ln(sqrt(|1-(y/x)^2|)*|x|)+1/2*(x/y)=c$
Certo.
Quella disuguaglianza puntuale implica, per il Teorema di Permanenza del Segno, che la disuguaglianza $y(x) > x$ vale in tutto un intorno di $0$.
Quella disuguaglianza puntuale implica, per il Teorema di Permanenza del Segno, che la disuguaglianza $y(x) > x$ vale in tutto un intorno di $0$.
Grazie
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