Problema di cauchy
Ciao a tutti!
stavo provando a risolvere il problema di cauchy
$ {(y'' -3y' + 2y = cosx),(y'(0)= 1),(y(0)= 1):} $
Poi trovo L'equazione caratteristica e le sue soluzioni
$ lambda^2 + 3lambda +2=0 $
$ lambda_1 = 1 $ e $ lambda_2 = 2 $
Quindi la soluzione omogenea è
$ y_o(x)=C_1e^x+C_2e^{2\x} $
Per trovare la soluzione particolare guardo $ cos x $ dove $ beta =1 $ che è uguale alla radice dell'equazione caratteristica quindi uso $ y_p(x)=x(Asenbeta x+Bcosbeta x) $
trovo poi la $ y'_p(x) $ e $ y''_p(x) $
Una volta fatti o calcoli non mi torna la soluzione particolare e non riesco a capire dove ho sbagliato.
Chi mi può aiutare?
Grazie
stavo provando a risolvere il problema di cauchy
$ {(y'' -3y' + 2y = cosx),(y'(0)= 1),(y(0)= 1):} $
Poi trovo L'equazione caratteristica e le sue soluzioni
$ lambda^2 + 3lambda +2=0 $
$ lambda_1 = 1 $ e $ lambda_2 = 2 $
Quindi la soluzione omogenea è
$ y_o(x)=C_1e^x+C_2e^{2\x} $
Per trovare la soluzione particolare guardo $ cos x $ dove $ beta =1 $ che è uguale alla radice dell'equazione caratteristica quindi uso $ y_p(x)=x(Asenbeta x+Bcosbeta x) $
trovo poi la $ y'_p(x) $ e $ y''_p(x) $
Una volta fatti o calcoli non mi torna la soluzione particolare e non riesco a capire dove ho sbagliato.
Chi mi può aiutare?
Grazie
Risposte
cioè?
Hai provato $y_p(x)=Asen(x)+Bcos(x)$?
"Bokonon":
Hai provato $y_p(x)=Asen(x)+Bcos(x)$?
Si ho provato anche così ma non torna
"gatto_":
cioè?
Controlla i segni… È la prima cosa che si insegna a scuola.
"gatto_":
Si ho provato anche così ma non torna
Questo è molto strano perchè (a meno che non abbia fatto errori) la soluzione è:
$y(x)=22/5e^(2x)-7/2e^x-3/10sin(x)+1/10cos(x)$
con un po' di occhio ed esperienza è facile individuare una educated guess.
Però obiettivamente è meglio se parti da zero e studi perbene il/i metodo/i.
Ho ricontrollato il metodo delle somiglianze e praticamente quando abbiamo un termine noto di questo tipo bisogna guardare il grado, in questo caso cosx di grado 1 e metterci il polinomio di grado 1.
Quindi $ y_p(x)=(Ax+B)cosx+(Cx+D)senx $ e facendo così l'esercizio torna
Quindi $ y_p(x)=(Ax+B)cosx+(Cx+D)senx $ e facendo così l'esercizio torna
Ciao gatto_,
Mah, veramente a meno che tu non abbia scritto male il testo del PdC iniziale la soluzione dell'equazione differenziale proposta mi risulta la seguente:
$y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} - 3/10 sin x + 1/10 cos x \implies y'(x) = c_1 e^x + 2c_2 e^{2x} - 3/10 cos x - 1/10 sin x $
Quindi dalla prima condizione $y(0) = 1 $ si ottiene
$ 1 = c_1 + c_2 + 1/10 \implies c_1 + c_2 = 9/10 $
mentre dalla seconda si ottiene
$ 1 = c_1 + 2c_2 - 3/10 \implies c_1 + 2c_2 = 13/10 $
quindi in definitiva $ c_1 = 1/2 $ e $c_2 = 2/5 $ e la soluzione del PdC mi risulta la seguente:
$y(x) = 1/2 e^x + 2/5 e^{2x} - 3/10 sin x + 1/10 cos x $
Mah, veramente a meno che tu non abbia scritto male il testo del PdC iniziale la soluzione dell'equazione differenziale proposta mi risulta la seguente:
$y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} - 3/10 sin x + 1/10 cos x \implies y'(x) = c_1 e^x + 2c_2 e^{2x} - 3/10 cos x - 1/10 sin x $
Quindi dalla prima condizione $y(0) = 1 $ si ottiene
$ 1 = c_1 + c_2 + 1/10 \implies c_1 + c_2 = 9/10 $
mentre dalla seconda si ottiene
$ 1 = c_1 + 2c_2 - 3/10 \implies c_1 + 2c_2 = 13/10 $
quindi in definitiva $ c_1 = 1/2 $ e $c_2 = 2/5 $ e la soluzione del PdC mi risulta la seguente:
$y(x) = 1/2 e^x + 2/5 e^{2x} - 3/10 sin x + 1/10 cos x $
"pilloeffe":
Ciao gatto_,
Mah, veramente a meno che tu non abbia scritto male il testo del PdC iniziale la soluzione dell'equazione differenziale proposta mi risulta la seguente:
$y(x) = c_1 e^x + c_2 e^{2x} - 3/10 sin x + 1/10 cos x \implies y'(x) = c_1 e^x + 2c_2 e^{2x} - 3/10 cos x - 1/10 sin x $
Quindi dalla prima condizione $y(0) = 1 $ si ottiene
$ 1 = c_1 + c_2 + 1/10 \implies c_1 + c_2 = 9/10 $
mentre dalla seconda si ottiene
$ 1 = c_1 + 2c_2 - 3/10 \implies c_1 + 2c_2 = 13/10 $
quindi in definitiva $ c_1 = 1/2 $ e $c_2 = 2/5 $ e la soluzione del PdC mi risulta la seguente:
$y(x) = 1/2 e^x + 2/5 e^{2x} - 3/10 sin x + 1/10 cos x $
Si, l'esercizio torna così
la cosa che non avevo capito era quella di sostituire ad A e B i polinomi di grado uguale a al grado del termine noto
"pilloeffe":
$y(x) = 1/2 e^x + 2/5 e^{2x} - 3/10 sin x + 1/10 cos x $
Giusto.
Non so perchè ho messo $y'(0)=5$
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