Problema di Cauchy
Buonasera, vorrei chiedere qualche delucidazione riguardo ad un problema di Cauchy del primo ordine a variabili separabili.
Data $\varphi : I -> RR$ soluzione massimale del problema di Cauchy:
$\{(dot y = 3sen(y) - 2cos(y)),(y(0) = 0):}$
indicare se le affermazioni sono vere o false:
1) $\varphi$ è definta su $\RR$ ed è strettamente crescente.
2) $\varphi$ ammette un unico zero.
Ho già provato a risolvere questo esercizio, ma la separazione delle variabili, dove $\a(x) = 1$ e $\b(y) = 3sen(y) - 2cos(y)$, mi porta di fronte ad un integrale di non facile risoluzione, almeno per me. Utilizzando programmi come Derive ho potuto notare a posteriori che vi è una soluzione, ma o non riesco a trovarla io oppure non è nemmeno necessario trovarla per rispondere alle due domande.
Tuttavia prima ancora di cercare una soluzione separando le variabili, ho tentato di trovare quelle stazionarie. Visto inoltre che tra le risposte viene chiesto "la soluzione è strettamente crescente", ho provato ad analizzare proprio la $\f(x,y)$, ponendola maggiore uguale di zero.
La soluzione stazionaria dovrebbe esserci per $\y = arctg(2/3)$ e utilizzando il sistema:
$\{(3sen(y) - 2cos(y) >= 0),(sen^2(y) + cos^2(y) = 1):}$
Ho ottenuto una soluzione decrescente e quindi già la prima affermazione dovrebbe essere falsa per questa ragione.
Ho dei dubbi per quanto riguarda il fatto che ammetta un'unico zero. Sicuramente un zero è quella della condizione iniziale, ma, osservando la $\f(x,y)$ mi sembra che quest'ultima sia sublineare, che è condizione sufficiente affinché $\I = RR$.
La soluzione conferma che la soluzione ha un solo zero, mentre la prima affermazione è errata (anche se non capisco se perché non sia strettamente crescente, perché non sia definita su tutto $\RR$ o per entrambe).
Ringrazio in anticipo ogni delucidazione in merito, anche per quanto riguarda l'applicazione della definizione di "sublinearità" in esercizi di questo tipo.
Data $\varphi : I -> RR$ soluzione massimale del problema di Cauchy:
$\{(dot y = 3sen(y) - 2cos(y)),(y(0) = 0):}$
indicare se le affermazioni sono vere o false:
1) $\varphi$ è definta su $\RR$ ed è strettamente crescente.
2) $\varphi$ ammette un unico zero.
Ho già provato a risolvere questo esercizio, ma la separazione delle variabili, dove $\a(x) = 1$ e $\b(y) = 3sen(y) - 2cos(y)$, mi porta di fronte ad un integrale di non facile risoluzione, almeno per me. Utilizzando programmi come Derive ho potuto notare a posteriori che vi è una soluzione, ma o non riesco a trovarla io oppure non è nemmeno necessario trovarla per rispondere alle due domande.
Tuttavia prima ancora di cercare una soluzione separando le variabili, ho tentato di trovare quelle stazionarie. Visto inoltre che tra le risposte viene chiesto "la soluzione è strettamente crescente", ho provato ad analizzare proprio la $\f(x,y)$, ponendola maggiore uguale di zero.
La soluzione stazionaria dovrebbe esserci per $\y = arctg(2/3)$ e utilizzando il sistema:
$\{(3sen(y) - 2cos(y) >= 0),(sen^2(y) + cos^2(y) = 1):}$
Ho ottenuto una soluzione decrescente e quindi già la prima affermazione dovrebbe essere falsa per questa ragione.
Ho dei dubbi per quanto riguarda il fatto che ammetta un'unico zero. Sicuramente un zero è quella della condizione iniziale, ma, osservando la $\f(x,y)$ mi sembra che quest'ultima sia sublineare, che è condizione sufficiente affinché $\I = RR$.
La soluzione conferma che la soluzione ha un solo zero, mentre la prima affermazione è errata (anche se non capisco se perché non sia strettamente crescente, perché non sia definita su tutto $\RR$ o per entrambe).
Ringrazio in anticipo ogni delucidazione in merito, anche per quanto riguarda l'applicazione della definizione di "sublinearità" in esercizi di questo tipo.
Risposte
Osserva che anche $y=\arctan(2/3)-\pi$ è una soluzione costante, quindi l'unica soluzione del problema dato sta in una striscia, quindi è definita su tutto $\mathbb R$. Ora $y'(0)=-2$ per cui $y$ non può essere strettamente crescente. Infine lo zero è unico, poichè se $y$ avesse un altro zero dovrebbe avere un punto critico, ma ciò è impossibile perchè dovrebbe toccare una delle due soluzioni costanti.
Ciao Thrank,
Esatto...
Comunque volendo si può sempre cercare rogna ed essere accontentati...
Infatti integrando si ha:
$\int \frac{\text{d}y}{a siny + b cos y} = x + c $
ove $a = 3 $ e $b = - 2 $. L'integrale al primo membro è risolvibile ponendo $t := tan(y/2) \implies \text{d}t = 1/2 sec^2 (y/2) \text{d}y $ e ricordando che $ sin y = \frac{2t}{1 + t^2} $, $ cos y = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $ e $ \text{d}y = \frac{2\text{d}t}{1 + t^2} $ dopo un po' di conti si trova
$\frac{2}{\sqrt{a^2 + b^2}} tanh^{-1}[\frac{b tan((y(x))/2) - a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] = x + c $
A questo punto, ricordando che $y(0) = 0 $ è possibile determinare la costante $c $:
$c = \frac{2}{\sqrt{a^2 + b^2}} tanh^{-1}[\frac{ - a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] $
Dunque si ha:
$ \frac{2}{\sqrt{a^2 + b^2}} tanh^{-1}[\frac{b tan((y(x))/2) - a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] = x + \frac{2}{\sqrt{a^2 + b^2}} tanh^{-1}[\frac{ - a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] $
$ tanh^{-1}[\frac{b tan((y(x))/2) - a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}[\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] $
$ \frac{b tan((y(x))/2) - a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = tanh{\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}[\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}]} $
$ b tan((y(x))/2) - a = \sqrt{a^2 + b^2} tanh{\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}[\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}]} $
$ b tan((y(x))/2) = a + \sqrt{a^2 + b^2} tanh{\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}[\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}]} $
$ tan((y(x))/2) = a/b + \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b} tanh{\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}[\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}]} $
$ y(x) = 2 arctan{a/b + \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b} tanh[\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}})]} $
Introducendo i valori di $a = 3 $ e $b = - 2 $ la soluzione del PdC proposto è la seguente:
$ y(x) = 2 arctan{- 3/2 + \frac{\sqrt{13}}{-2} tanh[\frac{\sqrt{13}}{2} x - tanh^{-1}(\frac{3}{\sqrt{13}})]} $
$ y(x) = 2 arctan{\frac{\sqrt{13}}{2} tanh[tanh^{-1}(\frac{3}{\sqrt{13}}) - \frac{\sqrt{13}}{2} x] - 3/2} $
"Thrank":
Utilizzando programmi come Derive ho potuto notare a posteriori che vi è una soluzione, ma o non riesco a trovarla io oppure non è nemmeno necessario trovarla per rispondere alle due domande.
Esatto...
Comunque volendo si può sempre cercare rogna ed essere accontentati...
Infatti integrando si ha:
$\int \frac{\text{d}y}{a siny + b cos y} = x + c $
ove $a = 3 $ e $b = - 2 $. L'integrale al primo membro è risolvibile ponendo $t := tan(y/2) \implies \text{d}t = 1/2 sec^2 (y/2) \text{d}y $ e ricordando che $ sin y = \frac{2t}{1 + t^2} $, $ cos y = \frac{1 - t^2}{1 + t^2} $ e $ \text{d}y = \frac{2\text{d}t}{1 + t^2} $ dopo un po' di conti si trova
$\frac{2}{\sqrt{a^2 + b^2}} tanh^{-1}[\frac{b tan((y(x))/2) - a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] = x + c $
A questo punto, ricordando che $y(0) = 0 $ è possibile determinare la costante $c $:
$c = \frac{2}{\sqrt{a^2 + b^2}} tanh^{-1}[\frac{ - a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] $
Dunque si ha:
$ \frac{2}{\sqrt{a^2 + b^2}} tanh^{-1}[\frac{b tan((y(x))/2) - a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] = x + \frac{2}{\sqrt{a^2 + b^2}} tanh^{-1}[\frac{ - a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] $
$ tanh^{-1}[\frac{b tan((y(x))/2) - a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}[\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}] $
$ \frac{b tan((y(x))/2) - a}{\sqrt{a^2 + b^2}} = tanh{\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}[\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}]} $
$ b tan((y(x))/2) - a = \sqrt{a^2 + b^2} tanh{\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}[\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}]} $
$ b tan((y(x))/2) = a + \sqrt{a^2 + b^2} tanh{\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}[\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}]} $
$ tan((y(x))/2) = a/b + \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b} tanh{\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}[\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}]} $
$ y(x) = 2 arctan{a/b + \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{b} tanh[\frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} x - tanh^{-1}(\frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}})]} $
Introducendo i valori di $a = 3 $ e $b = - 2 $ la soluzione del PdC proposto è la seguente:
$ y(x) = 2 arctan{- 3/2 + \frac{\sqrt{13}}{-2} tanh[\frac{\sqrt{13}}{2} x - tanh^{-1}(\frac{3}{\sqrt{13}})]} $
$ y(x) = 2 arctan{\frac{\sqrt{13}}{2} tanh[tanh^{-1}(\frac{3}{\sqrt{13}}) - \frac{\sqrt{13}}{2} x] - 3/2} $
Faccio comunque osservare che non era richiesta la soluzione esplicita. E' per altro tipico, in questo tipo di esercizi, richiedere lo svolgimento senza passare per una integrazione diretta dell'equazione, svolgimento assai più semplice.
Ringrazio tutti per le risposte.
Aggiungo che: Sì, non è necessario risolvere l'integrazione per arrivare a rispondere alle domande. A parte alcuni esercizi di solito non è necessario a meno che non sia richiesta discussione sulla soluzione in sé (ad esempio conoscere alcuni valori specifici od un limite particolare).
Aggiungo che: Sì, non è necessario risolvere l'integrazione per arrivare a rispondere alle domande. A parte alcuni esercizi di solito non è necessario a meno che non sia richiesta discussione sulla soluzione in sé (ad esempio conoscere alcuni valori specifici od un limite particolare).
Esatto, aggiungo anche che lo sforzarsi a risolvere il problema senza integrare l'equazione, quand'anche fosse possibile, non è un esercizio fine a se stesso ma propedeutico a tutte quelle circostanze (praticamente sempre) nelle quali l'equazione non è integrabile esplicitamente .
Poniamo:
\[
f(x,y) = 3 \sin y - 2 \cos y \; .
\]
Moltiplicando e dividendo per $sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt(13)$ si ottiene $f(x,y) = sqrt(13) (3/sqrt(13) sin y - 2/sqrt(13) cos y)$; chiamato $y_0$ l’unico angolo in $]-pi , pi]$ tale che $\{(cos y_0 = 3/sqrt(13) ) , (sin y_0 = 2/sqrt(13)):}$ (tale angolo è $y_0 = arctan (2/3)$) e sfruttata la formula di sottrazione del seno, si ha:
\[
f(x,y) = \sqrt{13}\ \sin( y - y_0)\; .
\]
Visto che $f$ non dipende da $x$, la EDO è autonoma; essendo $f$ di classe $C^oo$ ed addirittura analitica, le soluzioni massimali della EDO sono anch’esse analitiche; inoltre, si è in regime di unicità locale, dunque i grafici delle soluzioni massimali non si intersecano (i.e., per ogni punto del piano passa il grafico di una sola soluzione massimale).
Dato che $f$ è limitata, le soluzioni massimali della EDO sono definite in tutto $RR$.
La EDO ha soluzioni stazionarie in corrispondenza dei valori $y_n = y_0 + n pi$ (con $n in ZZ$), dunque le soluzioni non stazionarie hanno grafici contenuti nelle strisce di piano delimitate dai grafici delle soluzioni stazionarie.
Visto che $f(x,y) >0$ solo se $y_0 + 2 k pi < y < y_0 + (2k + 1) pi$ ossia se $y_(2k) < y < y_(2k+1)$ (con $k in ZZ$), una soluzione massimale $y(x)$ è strettamente crescente [risp. strettamente decrescente] se il suo grafico cade tra le soluzioni stazionarie consecutive $y_(2k)(x) = y_(2k)$ ed $y_(2k+1)(x) = y_(2k+1)$ [risp. tra le soluzioni stazionarie consecutive $y_(2k+1) (x) = y_(2k+1)$ ed $y_(2k+2)(x) = y_(2k+2)$].
Le rette-grafico delle soluzioni stazionarie sono asintoti orizzontali per i diagrammi delle soluzioni massimali.
Visto che:
\[
y^{\prime \prime} (x) = \sqrt{13}\ \cos (y(x) - y_0)\ y^\prime (x) = \sqrt{13}\ \cos (y(x) - y_0)\ \sin (y(x) - y_0) = \frac{\sqrt{13}}{2}\ \sin (2(y(x) - y_0))
\]
le soluzioni massimali sono strettamente convesse [risp. strettamente concave] solo quando il loro grafico cade nelle strisce $y_0 + n pi <= y <= y_0 + pi/2 + n pi$ [risp. $y_0 + pi/2 + n pi <= y <= y_0 + (n+1) pi$] (con $n in ZZ$), ossia $y_n <= y <= y_n + pi/2$ [risp. $y_n + pi/2 <= y <= y_(n+1)$], delimitate in basso [risp. in alto] dalla retta-grafico di una soluzione stazionaria ed in alto [risp. in basso] da una retta parallela ad essa che dista $pi/2$.
Ora, dato che $y(0) = 0 in ]y_(-1) , y_0[ = ]arctan (2/3) - pi, arctan(2/3)[$, la soluzione del P.d.C. assegnato è strettamente decrescente.
Conseguentemente, l’alternativa 2 è vera (per stretta monotonia e condizione iniziale) e la 1 è falsa.
\[
f(x,y) = 3 \sin y - 2 \cos y \; .
\]
Moltiplicando e dividendo per $sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt(13)$ si ottiene $f(x,y) = sqrt(13) (3/sqrt(13) sin y - 2/sqrt(13) cos y)$; chiamato $y_0$ l’unico angolo in $]-pi , pi]$ tale che $\{(cos y_0 = 3/sqrt(13) ) , (sin y_0 = 2/sqrt(13)):}$ (tale angolo è $y_0 = arctan (2/3)$) e sfruttata la formula di sottrazione del seno, si ha:
\[
f(x,y) = \sqrt{13}\ \sin( y - y_0)\; .
\]
Visto che $f$ non dipende da $x$, la EDO è autonoma; essendo $f$ di classe $C^oo$ ed addirittura analitica, le soluzioni massimali della EDO sono anch’esse analitiche; inoltre, si è in regime di unicità locale, dunque i grafici delle soluzioni massimali non si intersecano (i.e., per ogni punto del piano passa il grafico di una sola soluzione massimale).
Dato che $f$ è limitata, le soluzioni massimali della EDO sono definite in tutto $RR$.
La EDO ha soluzioni stazionarie in corrispondenza dei valori $y_n = y_0 + n pi$ (con $n in ZZ$), dunque le soluzioni non stazionarie hanno grafici contenuti nelle strisce di piano delimitate dai grafici delle soluzioni stazionarie.
Visto che $f(x,y) >0$ solo se $y_0 + 2 k pi < y < y_0 + (2k + 1) pi$ ossia se $y_(2k) < y < y_(2k+1)$ (con $k in ZZ$), una soluzione massimale $y(x)$ è strettamente crescente [risp. strettamente decrescente] se il suo grafico cade tra le soluzioni stazionarie consecutive $y_(2k)(x) = y_(2k)$ ed $y_(2k+1)(x) = y_(2k+1)$ [risp. tra le soluzioni stazionarie consecutive $y_(2k+1) (x) = y_(2k+1)$ ed $y_(2k+2)(x) = y_(2k+2)$].
Le rette-grafico delle soluzioni stazionarie sono asintoti orizzontali per i diagrammi delle soluzioni massimali.
Visto che:
\[
y^{\prime \prime} (x) = \sqrt{13}\ \cos (y(x) - y_0)\ y^\prime (x) = \sqrt{13}\ \cos (y(x) - y_0)\ \sin (y(x) - y_0) = \frac{\sqrt{13}}{2}\ \sin (2(y(x) - y_0))
\]
le soluzioni massimali sono strettamente convesse [risp. strettamente concave] solo quando il loro grafico cade nelle strisce $y_0 + n pi <= y <= y_0 + pi/2 + n pi$ [risp. $y_0 + pi/2 + n pi <= y <= y_0 + (n+1) pi$] (con $n in ZZ$), ossia $y_n <= y <= y_n + pi/2$ [risp. $y_n + pi/2 <= y <= y_(n+1)$], delimitate in basso [risp. in alto] dalla retta-grafico di una soluzione stazionaria ed in alto [risp. in basso] da una retta parallela ad essa che dista $pi/2$.
Ora, dato che $y(0) = 0 in ]y_(-1) , y_0[ = ]arctan (2/3) - pi, arctan(2/3)[$, la soluzione del P.d.C. assegnato è strettamente decrescente.
Conseguentemente, l’alternativa 2 è vera (per stretta monotonia e condizione iniziale) e la 1 è falsa.
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