Problema di Cauchy

[Valchiria1]

Salve, ho questa eq differenziale:

$u' + cos(t) u = cos(t)$

ho trovato le soluzioni che sono l'equilibrio per $u(t)=1$ e poi $u(t)=1+ce^(-sin t)$. Il problema è che poi mi viene richiesto:

Trovare tutte le eventuali soluzioni che soddisfano u(0) = u(π).
Trovare tutte le eventuali soluzioni che soddisfano u(0) = u(π/2).

Non mi è chiara come richiesta, probabilmente perchè non mi è chiara l'esistenza e unicità di Cauchy. E' lecito trovare due soluzioni tali che u(0) = u(π)?Cosa vuol dire? L'errore sarebbe pensare di poter trovare due soluzioni diverse per la stessa $t$, qui come devo ragionare?

[gugo82]

Semplicemente, quelle imposte non sono condizioni di Cauchy, quindi il teorema di esistenza ed unicità non si applica.

Morale della favola: se vuoi sapere se esistono soluzioni ai tuoi problemi, fai i conti.

[pilloeffe]

Ciao Valchiria,

Beh,

$u(0) = u(\pi) \implies 1 + c = 1 + c $ per cui va bene qualsiasi valore di $c$: la soluzione trovata $ u(t) = 1 + c e^{-sin(t)} $ soddisfa la condizione richiesta.

$ u(0) = u(\pi/2) \implies 1 + c = 1 + c/e $ per cui l'unica possibilità è che sia $c = 0 \implies u(t) = 1$

[Valchiria1]

Ok, grazie