Problema di Cauchy
Buongiorno a tutti. Vi chiedo gentilmente un aiuto riguardo l'esercizio che segue:
Si consideri il problema di Cauchy
${x^2*y'+y^2-1=0, y(2)=k$
a) Si determini l'integrale generale dell'equazione differenziale;
b) Si determini $k\in mathbb(R)$ tale che la corrispondente soluzione del problema di Cauchy sia definita su tutto (0,\\(\infty \)).
Ho già problemi al punto a). Anzitutto noto che l'equazione differenziale, scritta nella forma $y'=f(x,y(x))$ è discontinua, quindi non è possibile garantire l'esistenza e l'unicità su tutto $\mathbb(R)$. L'equazione è a variabili separabili, quindi diventa
$(y')/(1-y^2)=1/x^2$, con $y\ne\pm1$ (x non lo discuto perché sono in un intorno di 2). Integrando si ha:
$(1/2)*ln|1-y^2|=(-1/x)+c$, da qui ottengo $|1-y^2|=T*e^(-1/x)$, dove $T=e^c$, quindi maggiore di zero.
Da qui ottengo due casi:
1) $y\in(-1,+1)$, e si ha $y=\pm sqrt(1-Te^(-1/x))$
2) $y\in((-\infty \),-1)\cup(+1,+\infty \) $, e si ha $y=\pm sqrt(1+Te^(-1/x))$.
Da qui non so andare avanti
Si consideri il problema di Cauchy
${x^2*y'+y^2-1=0, y(2)=k$
a) Si determini l'integrale generale dell'equazione differenziale;
b) Si determini $k\in mathbb(R)$ tale che la corrispondente soluzione del problema di Cauchy sia definita su tutto (0,\\(\infty \)).
Ho già problemi al punto a). Anzitutto noto che l'equazione differenziale, scritta nella forma $y'=f(x,y(x))$ è discontinua, quindi non è possibile garantire l'esistenza e l'unicità su tutto $\mathbb(R)$. L'equazione è a variabili separabili, quindi diventa
$(y')/(1-y^2)=1/x^2$, con $y\ne\pm1$ (x non lo discuto perché sono in un intorno di 2). Integrando si ha:
$(1/2)*ln|1-y^2|=(-1/x)+c$, da qui ottengo $|1-y^2|=T*e^(-1/x)$, dove $T=e^c$, quindi maggiore di zero.
Da qui ottengo due casi:
1) $y\in(-1,+1)$, e si ha $y=\pm sqrt(1-Te^(-1/x))$
2) $y\in((-\infty \),-1)\cup(+1,+\infty \) $, e si ha $y=\pm sqrt(1+Te^(-1/x))$.
Da qui non so andare avanti
Risposte
Ti si chiede per quali valori di $k$ la soluzione vive su tutto $RR^+$. Nota che per $y(x)$ bisogna richiedere che l'argomento della radice sia non negativo. Per quali $k$ si ha quindi tale insieme di definizione? (P.S. potrebbe essere utile imporre le condizioni iniziali prima di procedere)
Io infatti direi che poiché $|1-y^2|=T*e^(-1/x)$ e poiché $e^(-1/x)>0$ per ogni x, si ha che certamente $T>0$. Quindi il caso da discutere è $y(x)=\pm sqrt(1-Te^(-1/x)$. Qui ho la condizione di esistenza $T*e^(-1/x)<=1$. Però da qui non so cosa mi possa far arrivare ad una soliuzione
Ti sarai accorto che la tua condizione non dipende da $k$. Devi prima imporre le condizioni iniziali e determinare $c(k)$. Poi puoi discutere la soluzione.
Ho
da $1/2*ln(1-y^2)=-1/x+c$, $1/2*ln(1-k^2)=-1/2+c$ da cui $c=1/2*[ln(1-k^2)+1]$ per y(x) (quindi per k) in $(-1,1)$.
Mentre $1/2*ln(y^2-1)=-1/x+c$, $1/2*ln(k^2-1)=-1/2+c$ da cui $c=1/2*[ln(k^2-1)+1]$ per y(x) (quindi per k) in $(-\infty\,-1)\cup (1,+\infty)$. E adesso? Se Impongo le condizioni di esistenza della radice mi escono le stesse diseguaglianze di y con il k al suo posto. Non sto capendo
da $1/2*ln(1-y^2)=-1/x+c$, $1/2*ln(1-k^2)=-1/2+c$ da cui $c=1/2*[ln(1-k^2)+1]$ per y(x) (quindi per k) in $(-1,1)$.
Mentre $1/2*ln(y^2-1)=-1/x+c$, $1/2*ln(k^2-1)=-1/2+c$ da cui $c=1/2*[ln(k^2-1)+1]$ per y(x) (quindi per k) in $(-\infty\,-1)\cup (1,+\infty)$. E adesso? Se Impongo le condizioni di esistenza della radice mi escono le stesse diseguaglianze di y con il k al suo posto. Non sto capendo
E' un discorso un po' confusionario...
Comunque temo che ci sia un errore a monte nello svolgimento, dovresti integrare $1/(1-y^2)dy=1/x^2dx$ e ottenere qualcosa di questo genere (sono troppo pigro per fare i conti):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2y%27%2By%5E2-1%3D0
Comunque temo che ci sia un errore a monte nello svolgimento, dovresti integrare $1/(1-y^2)dy=1/x^2dx$ e ottenere qualcosa di questo genere (sono troppo pigro per fare i conti):
http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E2y%27%2By%5E2-1%3D0
Eh hai ragione, ho sbagliato un segno integrando porca miseria... Grazie, scusa l'inutile disturbo
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