Problema di Cauchy
Per $\beta in RR$ si consideri il problema di Cauchy
${(3x^2y''-7xy'+3y=4x^3),(y(1)=1/2),(y'(1)=\beta):}$
i) Discutere, al variare di $\beta$, quante e quali sono le soluzioni del PdC in $I=(0,+\infty)$.
ii) Discutere, al variare di $\beta$, quante e quali sono le soluzioni del PdC in $RR$.
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Io ho cercato se l'omogenea associata avesse soluzioni del tipo $x^a$ e ho trovato $a={(1/3),(3):}$.
Quindi la soluzione dell'omogenea associata direi che e' $y_{om}(x)=c_1*x^3+c_2*x^{1/3}$
Pero' a dire il vero sono andato un po' "a caso" cercando soluzioni del tipo $x^a$.
Come dovrei fare nel caso generale? E poi non so in ogni caso trovare la soluzione particolare.
Grazie.
${(3x^2y''-7xy'+3y=4x^3),(y(1)=1/2),(y'(1)=\beta):}$
i) Discutere, al variare di $\beta$, quante e quali sono le soluzioni del PdC in $I=(0,+\infty)$.
ii) Discutere, al variare di $\beta$, quante e quali sono le soluzioni del PdC in $RR$.
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Io ho cercato se l'omogenea associata avesse soluzioni del tipo $x^a$ e ho trovato $a={(1/3),(3):}$.
Quindi la soluzione dell'omogenea associata direi che e' $y_{om}(x)=c_1*x^3+c_2*x^{1/3}$
Pero' a dire il vero sono andato un po' "a caso" cercando soluzioni del tipo $x^a$.
Come dovrei fare nel caso generale? E poi non so in ogni caso trovare la soluzione particolare.
Grazie.
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