Problema di Cauchy

[Mito125]

Vorrei capire il metodo usato per risolvere questo problema. Io ho risolto così:

$ y'(t) = -ty(t) +e^{-\frac{t^2}{2}}$
$a(t) = -t ->A(t)=-\frac{t^2}{2}$
Moltiplico ambro i membri per $e^{-A(t)}=e^{t^2}$
$y'e^{t^2}+te^{t^2}y=1 $
$D(e^{t^2}y)=1->e^{t^2}y=t+c->y(t)=(t+c)e^{-t^2}$ dove $c$ è una costante arbitraria...
Applico la condizione $y(0)=0 -> c=0 ->y(t)=te^{-t^2}$

Il risultato è corretto, ma la soluzione che ho io riporta queste due semplici righe:

$\int_{0}^{t} -s ds = -\frac{t^2}{2}$
$y(t)=e^{-\frac{t^2}{2}}\int_{0}^{t} ds = te^{-\frac{t^2}{2}}$

Io non ho capito che metodo ha usato... Le soluzioni sono identiche, ma ci siamo arrivati per strade diverse... La seconda è molto più semplice, resta solo da capire come ha percorso questa strada.

[Luca.Lussardi]

La tua soluzione e' migliore; il libro ha usato direttamente la formula risolutiva mentre tu l'hai "ricavata" usando il trucco della moltiplicazione per $e^{-A(t)}$, di fatto il trucco che si usa per dimostrare la formula.

[Mito125]

"Luca.Lussardi":La tua soluzione e' migliore; il libro ha usato direttamente la formula risolutiva mentre tu l'hai "ricavata" usando il trucco della moltiplicazione per $e^{-A(t)}$, di fatto il trucco che si usa per dimostrare la formula.

E che io non ho mai visto quella formula risolutiva ed avere due procedimenti diversi di cui uno velocissimo per controllare i risultati male non fa