Problema di Cauchy

[giovi095]

cia a tutti ragazzi, ho bisogno di un piccolo aiuto su questo problema:
Trovare la soluzione del problema di Cauchy

$\{y^(1) = (y^(3)) / ((x^(2) + 1),(y(0) = 6):}$

Nel trovare la soluzione y(x), qualora essa non sia definita per ogni x ∈ R, si determini anche il suo intervallo (massimo) di definizione.

risoluzione

$\(dely)/(delx) = y^(3) / ((x^(2) + 1)$

$\int y^3 dy = int x^2+1 dx$

$\y^4/4=x^3/3 + x + c$

e adesso se ho fatto tutti i calcoli esatti dovrei sostituire y(0)...
ho sicuramente sbagliato qualcosa, qualcuno può aiutarmi anche a concludere l'esercizio? Non so proprio come andare avanti!
grazie in anticipo

[Brancaleone1]

"giovi095":

$\(dely)/(delx) = y^(3) / ((x^(2) + 1)$

$\int y^3 dy = int x^2+1 dx$

Ma siamo sicuri?

[giovi095]

wow ho proprio fatto un errore da "SBALLO" lol
dovrebbe essere:

$\int 1/(x^2+1) dx = int 1/y^3 dy$

quindi $\arctgx = 1/2y^3 + c $

ora sostituisco alla c 6?

[Brancaleone1]

"giovi095":
dovrebbe essere:

$\int 1/(x^2+1) dx = int 1/y^3 dy$

Ora va meglio ma...

"giovi095":quindi $\arctgx = 1/2y^3 + c $

...il risultato non è questo: controlla l'integrale di destra.
Una volta calcolato, la costante si ricava sostituendo i valori della condizione iniziale.

[giovi095]

ok quindi il risultato dovrebbe essere:

$\arctgx = -1/2y^2 + c$

e quindi sostituendo y(0) = 6 mi viene fuori

$\arctgx = -1/2y^2 + 6$

a questo punto devo trovare l'intervallo arctgx sta tra $\pi/2$ e $-pi/2$
quindi:

$-pi/2
giusto?

[Brancaleone1]

"giovi095":ok quindi il risultato dovrebbe essere:

$\arctgx = -1/2y^2 + c$

Ok

"giovi095":e quindi sostituendo y(0) = 6 mi viene fuori

$\arctgx = -1/2y^2 + 6$

No, controlla bene.

[giovi095]

integrando siamo arrivati a questo:

$\arctx=−1/2y^2+c$

e io qui non ho capito molto bene come si conclude l'esercizio... devo sostituire lo $\0$ di $\y(0)$ alla $\x$ dell'$\arctgx$ e sostituire alla $\y$ di $\−1/2y^2$ per trovare la $\c$?

e quindi sostituendo si arriva a questa conclusione?

$\c=1/(2(36))−arctg(0)$

$\c=0+1/72$

quindi $\c=1/72$

ma se il ragionamento è giusto devo trovare l'intervallo su cui è definito il risultato e quindi metto il risultato x tra $−pi/2$ e $pi/2$

quindi $\−pi/2
ti avevo inviato un messaggio... ma forse non ti è arrivato, è ancora sulla cartella "messaggi in uscita"
grazie per il tuo aiuto
Giovanni

[Brancaleone1]

"Brancaleone":[quote="giovi095"]ok quindi il risultato dovrebbe essere:

$ \arctgx = -1/2y^2 + c $

Ok
[/quote]
Errore mio, mi sono confuso... $y^2$ è al denominatore

"giovi095":
e io qui non ho capito molto bene come si conclude l'esercizio... devo sostituire lo $\0$ di $\y(0)$ alla $\x$ dell'$\arctgx$ e sostituire alla $\y$ di $\−1/2y^2$ per trovare la $\c$?

Le strade sono due:
1) Risolvi le due primitive e in un secondo tempo trovi il valore di $c$ applicando la condizione, oppure
2) Trovi direttamente la relazione svolgendo i due integrali definiti come

$int_(x_0)^x f(t)text(d)t = int_(y_0)^y g(u)text(d)u$

ossia

$int_0^x 1/(t^2+1) text(d)t = int_6^y 1/(u^3) text(d)u$

che risulta essere

$arctan(x)=-1/(2y^2)+1/72$

[giovi095]

ok grazie mille

e invece riguardo all'intervallo va bene la mia soluzione (che deve essere ancora conclusa)?