Problema di Cauchy
Salve, devo risolvere un problema di Cauchy:
${(y'' - 2y' + y = 4x - 5),(y(0) = 0),(y'(0) = 1):}$
Essendo una equazione lineare non omogenea, l'ho risolta utilizzando l'equazione caratteritistica della lineaere omogenea associata. Il risultato a cui pervengono è di una sola radice $lambda = 2$ con molteplicità pari a $2$.
Quindi scrivo:
$f(x) = c_1e^(2x) + c_2e^(2x) + v_0(x)$
Con $v_0(x)$ che pari a:
$v_0(x) = b_0 +b_1x$
Calcolando la derivata prima e seconda per poi sostituire nell'equazione principale, ottengo:
$-2b_1 + b_0 + b_1x = 4x - 5$
Da qui ottengo due valori per $b_0 = 3$ e $b_1 = 4$, che andando a sostituire nell'equazione di $f(x)$ ho:
$f(x) = c_1e^(2x) + c_2e^(2x) + 3 + 4x$
Il problema è che imponendo la seconda e la terza equazione del sistema, mi trovo un risultato impossibile (in pratica che la somma delle costanti da $-3$ e la somma del doppio delle costanti da $-3$). In cosa sbaglio
Grazie.
${(y'' - 2y' + y = 4x - 5),(y(0) = 0),(y'(0) = 1):}$
Essendo una equazione lineare non omogenea, l'ho risolta utilizzando l'equazione caratteritistica della lineaere omogenea associata. Il risultato a cui pervengono è di una sola radice $lambda = 2$ con molteplicità pari a $2$.
Quindi scrivo:
$f(x) = c_1e^(2x) + c_2e^(2x) + v_0(x)$
Con $v_0(x)$ che pari a:
$v_0(x) = b_0 +b_1x$
Calcolando la derivata prima e seconda per poi sostituire nell'equazione principale, ottengo:
$-2b_1 + b_0 + b_1x = 4x - 5$
Da qui ottengo due valori per $b_0 = 3$ e $b_1 = 4$, che andando a sostituire nell'equazione di $f(x)$ ho:
$f(x) = c_1e^(2x) + c_2e^(2x) + 3 + 4x$
Il problema è che imponendo la seconda e la terza equazione del sistema, mi trovo un risultato impossibile (in pratica che la somma delle costanti da $-3$ e la somma del doppio delle costanti da $-3$). In cosa sbaglio
Grazie.
Risposte
Guarda che la soluzione dell'omogenea associata è $y(x)=(c_1+c_2 x)e^{2x}$
Ciò è dovuto al fatto che c'è la doppia molteplicità della radice $2$ ?
Mentre $v_0 (x)$ è esatto ?
Mentre $v_0 (x)$ è esatto ?
Una nota: il polinomio caratteristico e':
$ lambda ^2-2lambda +1=0 $
quindi
$ lambda = 1 $ quindi la soluzione dell'equazione omogenea e':
$ y(x)= (c_1+c_2x)e^x $ non $ e^(2x) $
$ lambda ^2-2lambda +1=0 $
quindi
$ lambda = 1 $ quindi la soluzione dell'equazione omogenea e':
$ y(x)= (c_1+c_2x)e^x $ non $ e^(2x) $
Esatto, se la molteplicità è doppia, la soluzione è come l'ho scritta io. Anche perché, ti faccio presente che quello che hai scritto tu diventa
$$y(x)=c_1 e^{2x}+c_2 e^{2x}=(c_1+c_2)e^{2x}=c e^{2x}$$
che risulta una sola soluzione (e invece te ne servono due). Mi sembra strano che tu non abbia incontrato, studiando la teoria, la soluzione standard dell'EDO del secondo ordine lineare a coefficienti costanti, a seconda delle soluzioni dell'algebrica associata. $v_0(x)$ mi sembra corretto.
EDIT: grazie ostrogoto, avevo dato per buona la soluzione dell'utente.
$$y(x)=c_1 e^{2x}+c_2 e^{2x}=(c_1+c_2)e^{2x}=c e^{2x}$$
che risulta una sola soluzione (e invece te ne servono due). Mi sembra strano che tu non abbia incontrato, studiando la teoria, la soluzione standard dell'EDO del secondo ordine lineare a coefficienti costanti, a seconda delle soluzioni dell'algebrica associata. $v_0(x)$ mi sembra corretto.
EDIT: grazie ostrogoto, avevo dato per buona la soluzione dell'utente.
Se la molteplicità fosse stata $3$ ad esempio, avrei aggiunto una ulteriore terza costante di $x^2$, giusto?
Esatto, ovviamente nel caso di una equazione del terzo ordine.
Perfetto, grazie mille.
Ragazzi all'interno di un problema di Cauchy mi sono imbattuto in questa equazione:
$y" -2y' + y = e^x + e^(2x)$
Non so come gestirla.
Fosse stato solo $e^x$, avrei moltiplicato il $v_0$ per $e^x$ cosicché si potesse eliminare quando vado ad eguagliare il $v_0$ all'equazione principale. In questo caso come mi comporto ?
$y" -2y' + y = e^x + e^(2x)$
Non so come gestirla.
Fosse stato solo $e^x$, avrei moltiplicato il $v_0$ per $e^x$ cosicché si potesse eliminare quando vado ad eguagliare il $v_0$ all'equazione principale. In questo caso come mi comporto ?
Probabilmente c'e' un errore nel testo: sara'
$ y''-2y'+y=e^x+e^(2x) $
cerchi le soluzioni dell'equazione lineare:
$ y''-2y'+y=0 $
poi applichi il metodo della variazione delle costanti arbitrarie. (metodo generico per equazioni non omogenee)
$ y''-2y'+y=e^x+e^(2x) $
cerchi le soluzioni dell'equazione lineare:
$ y''-2y'+y=0 $
poi applichi il metodo della variazione delle costanti arbitrarie. (metodo generico per equazioni non omogenee)
Si mi ero dimenticato il doppio $''$.
Potresti scrivermi i primi passaggi? Davvero mi sto confondendo totalmente.
Potresti scrivermi i primi passaggi? Davvero mi sto confondendo totalmente.
La soluzione dell'omogenea associata:
$ y''-2y'+y=0 $
e' naturally:
$ y= c_1e^x+c_2xe^x $
Per applicare il metodo delle variazioni delle costanti arbitrarie, dalla soluzione sopra si prendono separatamente i due "pezzi"
$ y_1=e^x $ e $ y_2=xe^x $
e si risolve il sistema di equazioni differenziali nelle due funzioni incognite $ w_1(x) $ et $ w_2(x) $
$ { ( w'_1y_1+w'_2y_2=0 ),( w'_1y'_1+w'_2y'_2=pno ):} $
dove pno=parte non omogenea.
La soluzione particolare cercata sara': $ v_0=w_1y_1+w_2y_2 $
Nel caso in questione bisogna risolvere:
$ { ( w'_1e^x+w'_2xe^x=0 ),( w'_1e^x+w'_2(x+1)e^x=e^x+e^(2x) ):} $
$ y''-2y'+y=0 $
e' naturally:
$ y= c_1e^x+c_2xe^x $
Per applicare il metodo delle variazioni delle costanti arbitrarie, dalla soluzione sopra si prendono separatamente i due "pezzi"
$ y_1=e^x $ e $ y_2=xe^x $
e si risolve il sistema di equazioni differenziali nelle due funzioni incognite $ w_1(x) $ et $ w_2(x) $
$ { ( w'_1y_1+w'_2y_2=0 ),( w'_1y'_1+w'_2y'_2=pno ):} $
dove pno=parte non omogenea.
La soluzione particolare cercata sara': $ v_0=w_1y_1+w_2y_2 $
Nel caso in questione bisogna risolvere:
$ { ( w'_1e^x+w'_2xe^x=0 ),( w'_1e^x+w'_2(x+1)e^x=e^x+e^(2x) ):} $
La prima equazione del sistema finale è semplicemente $v_0$ posta pari a 0?
La seconda equazione è semplicemente $v_0$ derivata e posta pari alla parte non omogenea?
Risolvendo quel sistema ottengo che $w'_1 = - e^(2x)x$ e $w'_2 = e^(2x)$. Cosa devo fare ora?
Ho pensato che essendo delle derivate devo integrare per ottenere il valore delle primitive. Corretto?
La seconda equazione è semplicemente $v_0$ derivata e posta pari alla parte non omogenea?
Risolvendo quel sistema ottengo che $w'_1 = - e^(2x)x$ e $w'_2 = e^(2x)$. Cosa devo fare ora?
Ho pensato che essendo delle derivate devo integrare per ottenere il valore delle primitive. Corretto?
A me le soluzioni del sistema vengono un poco diverse (ho sottratto dalla seconda equazione la prima per trovare $ w_2' $ e poi l'ho sostituito nella prima per calcolare $ w_1' $ ):
$ w_1'= -x(1+e^x) $
$ w_2'= 1+e^x $
Giustamente per trovare $ w_1 $ e $ w_2 $ si deve integrare.
Se la prima equazione del sistema fosse $ v_0=0 $ allora il procedimento non avrebbe senso perche' allora saprei gia' in partenza che $ v_0 $, soluzione particolare dell'equazione sarebbe 0...
La seconda equazione non e' la derivata di $ v_0 $: basta ricordare la regola di derivazione del prodotto di funzioni...
$ w_1'= -x(1+e^x) $
$ w_2'= 1+e^x $
Giustamente per trovare $ w_1 $ e $ w_2 $ si deve integrare.
Se la prima equazione del sistema fosse $ v_0=0 $ allora il procedimento non avrebbe senso perche' allora saprei gia' in partenza che $ v_0 $, soluzione particolare dell'equazione sarebbe 0...
La seconda equazione non e' la derivata di $ v_0 $: basta ricordare la regola di derivazione del prodotto di funzioni...
@mr.mazzarr
in molti casi,per trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale $ yprime prime +py'+qy=f(x)$ si può fare a meno del laborioso metodo della variazione delle costanti arbitrarie
ad esempio,se $f(x)$ è del tipo $P(x)e^(alphax)$ ,con $P(x)$ polinomio di grado $n$,una soluzione particolare è del tipo
1)$Q(x)e^(alphax)$ ,con $Q(x)$ polinomio di grado $n$,se $alpha$ non è radice dell'equazione caratteristica
2)$x^rQ(x)e^(alphax)$,con $Q(x)$ sempre di grado $n$,se $alpha$ è radice di molteplicità $r$ dell'equazione caratteristica
una soluzione particolare di $ yprime prime -2yprime +y=e^x $ è $y=1/2x^2e^x$
..........................................................$e^(2x)$ è $y=e^(2x)$
prova ad arrivare tu ai risultati con il metodo appena descritto
in molti casi,per trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale $ yprime prime +py'+qy=f(x)$ si può fare a meno del laborioso metodo della variazione delle costanti arbitrarie
ad esempio,se $f(x)$ è del tipo $P(x)e^(alphax)$ ,con $P(x)$ polinomio di grado $n$,una soluzione particolare è del tipo
1)$Q(x)e^(alphax)$ ,con $Q(x)$ polinomio di grado $n$,se $alpha$ non è radice dell'equazione caratteristica
2)$x^rQ(x)e^(alphax)$,con $Q(x)$ sempre di grado $n$,se $alpha$ è radice di molteplicità $r$ dell'equazione caratteristica
una soluzione particolare di $ yprime prime -2yprime +y=e^x $ è $y=1/2x^2e^x$
..........................................................$e^(2x)$ è $y=e^(2x)$
prova ad arrivare tu ai risultati con il metodo appena descritto
"ostrogoto":
A me le soluzioni del sistema vengono un poco diverse (ho sottratto dalla seconda equazione la prima per trovare $ w_2' $ e poi l'ho sostituito nella prima per calcolare $ w_1' $ ):
$ w_1'= -x(1+e^x) $
$ w_2'= 1+e^x $
Giustamente per trovare $ w_1 $ e $ w_2 $ si deve integrare.
Se la prima equazione del sistema fosse $ v_0=0 $ allora il procedimento non avrebbe senso perche' allora saprei gia' in partenza che $ v_0 $, soluzione particolare dell'equazione sarebbe 0...
La seconda equazione non e' la derivata di $ v_0 $: basta ricordare la regola di derivazione del prodotto di funzioni...
Ho una gran confusione in testa..
In effetti la prima non può essere semplicemente $v_0$ perché sono derivate solo le funzioni incognite e non le $y$.
La seconda sinceramente non ho capito cosa sia.. In effetti mancano alcuni elementi per dire che è la derivata di $v_0$.
Ma nel caso in cui $f(x)$ fosse $x^2 + cosx$ ? Quindi due funzioni totalmente diverse, come dovrei comportarmi?
Continuate a risolvere gli esercizi con i paraocchi ! 
La mia prof ci ha insegnato che in equazioni del genere devo dividere in due equazioni, svolgere singolarmente e poi sommare. Ovvero in questo caso:
$y" - 2y' + y = e^x$
$y" - 2y' + y = e^(2x)$
Il problema è che svolgendo singolarmente mi trovo a cancellare tutte le costanti quando vado ad utilizzare il principio dei polinomi. Trovandomi quindi 0=1.
$y" - 2y' + y = e^x$
$y" - 2y' + y = e^(2x)$
Il problema è che svolgendo singolarmente mi trovo a cancellare tutte le costanti quando vado ad utilizzare il principio dei polinomi. Trovandomi quindi 0=1.
nella prima equazione devi prendere una $phi(x)$ del tipo $ax^2e^x$ perchè $1$ è radice doppia dell'equazione caratteristica
nella seconda equazione devi prendere una $phi(x)$ del tipo $ae^(2x)$
nella seconda equazione devi prendere una $phi(x)$ del tipo $ae^(2x)$
Perché $1$ non ha molteplicità due anche nel secondo caso?
quando parlo di $1$ mi riferisco a $e^x=e^(1cdotx)$
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