Problema di Cauchy

[Mr.Mazzarr]

Salve, devo risolvere un problema di Cauchy:

${(y'' - 2y' + y = 4x - 5),(y(0) = 0),(y'(0) = 1):}$

Essendo una equazione lineare non omogenea, l'ho risolta utilizzando l'equazione caratteritistica della lineaere omogenea associata. Il risultato a cui pervengono è di una sola radice $lambda = 2$ con molteplicità pari a $2$.

Quindi scrivo:
$f(x) = c_1e^(2x) + c_2e^(2x) + v_0(x)$

Con $v_0(x)$ che pari a:
$v_0(x) = b_0 +b_1x$

Calcolando la derivata prima e seconda per poi sostituire nell'equazione principale, ottengo:
$-2b_1 + b_0 + b_1x = 4x - 5$

Da qui ottengo due valori per $b_0 = 3$ e $b_1 = 4$, che andando a sostituire nell'equazione di $f(x)$ ho:
$f(x) = c_1e^(2x) + c_2e^(2x) + 3 + 4x$

Il problema è che imponendo la seconda e la terza equazione del sistema, mi trovo un risultato impossibile (in pratica che la somma delle costanti da $-3$ e la somma del doppio delle costanti da $-3$). In cosa sbaglio

Grazie.

[Mr.Mazzarr]

Scusa se continuo a non capire..
Nel primo caso ho semplicemente $e^x$, nel secondo caso ho $e^(2x)$.
Tu mi stai dicendo che $v(x)$ nel primo caso ha grado $2$ mentre nel secondo caso ha grado $1$ ?

Ed esattamente perchè?

[stormy1]

rileggiti con attenzione questo :

"stormy":@mr.mazzarr

in molti casi,per trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale $ yprime prime +py'+qy=f(x) $ si può fare a meno del laborioso metodo della variazione delle costanti arbitrarie

ad esempio,se $ f(x) $ è del tipo $ P(x)e^(alphax) $ ,con $ P(x) $ polinomio di grado $ n $,una soluzione particolare è del tipo

1)$ Q(x)e^(alphax) $ ,con $ Q(x) $ polinomio di grado $ n $,se $ alpha $ non è radice dell'equazione caratteristica

2)$ x^rQ(x)e^(alphax) $,con $ Q(x) $ sempre di grado $ n $,se $ alpha $ è radice di molteplicità $ r $ dell'equazione caratteristica

una soluzione particolare di $ yprime prime -2yprime +y=e^x $ è $ y=1/2x^2e^x $
..........................................................$ e^(2x) $ è $ y=e^(2x) $

prova ad arrivare tu ai risultati con il metodo appena descritto

[Mr.Mazzarr]

Penso di aver capito.

Considerando che con $e^x$, $alpha$ è uguale alla radice del polinomio caratteristico allora aggiungo una $x$ elevata per la molteplicità di quella radice.

Solo un dubbio, con queste sostituzioni ottengo due equazioni del tipo:

$y'' - 2y' + y = x^2e^x$
$y'' - 2y' + y = e^(2x)$

Oppure ottengo direttamente l'integrale generale senza costanti?
Perchè trattandosi di un Problema di Cauchy, io devo avere delle costanti da calcolare mediante le altre due equazioni del sistema.

Oppure mediante il tuo metodo ottengo semplicemente il valore esatto di $v_0(x)$ da sommare all'integrale generale?

[stormy1]

prendiamo la prima equazione: tu sai che la soluzione è del tipo $phi(x)=ax^2e^x$
ti calcoli $ phiprime (x),phiprime prime (x) $
imponi $ phiprime prime (x)-2phiprime (x)+phi=e^x $ e da qui ti ricavi la $a$
analogamente si fa con la seconda equazione

[Mr.Mazzarr]

Con la seconda equazione però ho semplicemente $ae^(2x)$.
Quindi sostanzialmente il $phi(x)$ è il $v_0(x)$, questo mi serviva di capire.

Ottimo stormy, grazie.