Problema di Cauchy

[Ale88ssia]

Ciao a tutti! Non riesco ad arrivare alla conclusione di questo esercizio :

"Data l'equazione differenziale : \(\displaystyle y' = \frac{xylogx}{\sqrt{y+1}} \) risolvere i due problemi di Couchy con dati : \(\displaystyle y(1)=0 \) e \(\displaystyle y(1)=1 \)"

Io ho trovato l'integrale generale dell'equazione a variabili separabili, e se non ho sbagliato qualche calcolo (che non metto perchè sono troppo lunghi) dovrebbe venire così :

\(\displaystyle 2\sqrt{y+1} - log(\sqrt{y+1} - 1) + log(\sqrt{y+1} + 1) = \frac{x^2}{2}(logx - 1/2) + c \)

ora il mio dubbio è, come faccio a risolvere il problema di Cauchy? devo esplicitare il tutto o posso risolverlo direttamente così? perchè io ho provato a sostituire da cosi, ma per il primo caso ad esempio ( y(1)=0 ) mi salta fuori un logaritmo di zero che è impossibile...

[stormy1]

mi sembra di vedere che per la condizione $y(1)=0$ la soluzione sia semplicemente la funzione $y=0$

[Ale88ssia]

Hai ragione!! ma è y = 0 poichè nella sostituzione viene fuori un log 0 giusto ?

[stormy1]

"Ale88ssia": ma è y = 0 poichè nella sostituzione viene fuori un log 0 giusto ?

detta così è un po' brutale
io direi $y=0$ è soluzione perchè si ha $y'=0$: quindi l'equazione è verificata e in più questa soluzione verifica $y(1)=0$
al limite si può dire che il fatto che ti fosse venuto log 0 doveva indurti a pensare che la soluzione del problema di Cauchy non si poteva ricavare dall'integrale generale che hai scritto

[Ale88ssia]

Ah ok!! Grazie! E invece per y(1)=1 a questo punto come faccio? Posso usare sta volta l'integrale generale che ho trovato oppure devo seguire un'altra strada?

[stormy1]

premetto che non ho controllato se l'integrale generale sia esatto
se lo è,la prima che hai detto

[Ale88ssia]

Ok! grazie mille per tutto!