Problema di Cauchy
Buongiorno Matematicamente , sono alle prese con tale problema di Cauchy:
$e^(x+y)y'+x=0$
$y(0)=0 $
Ora soffermandomi sull'equazione differenziale, ho provato a fare cosi:
$y'=-x/(e^xe^y)$ poi come continuo? a vista sembra lineare di primo ordine. Qualche input?
$e^(x+y)y'+x=0$
$y(0)=0 $
Ora soffermandomi sull'equazione differenziale, ho provato a fare cosi:
$y'=-x/(e^xe^y)$ poi come continuo? a vista sembra lineare di primo ordine. Qualche input?
Risposte
$e^x * e^y * y' = -x => e^y *y'= - e^(-x) *x$
E poi? non riesco a capire...
$int e^y (dy)/dx dx = int -e^(-x) *x dx<=> int e^y dy= int -e^(-x) *x dx$
Rivolvi entrambi gli integrali e hai la soluzione
Rivolvi entrambi gli integrali e hai la soluzione
No, aspetta non ti seguo, perchè integro entrambe? poi mi verrebbe$ e^y= e^(-x)x-e^(-x)$
Devi cercare di trasformare l'espressione in modo da non avere più $y'$. Siccome hai separato le variabili (infatti questa equazione differenziale è detta "a variabili separabili"), integrando entrambi i membri ottieni la semplificazione voluta.
A me viene $e^y= e^(-x)x +e^(-x)+c$
A me viene $e^y= e^(-x)x +e^(-x)+c$
Okk, scusa se insisto, ma quindi questa equazione non è lineare? perchè?
Scusa, ma come fa ad essere lineare? C'è $e^(x+y)$, che è una funzione esponenziale
Ora per trovarmi la forma y=.... devo applicare il logaritmo a tutti i membri giusto?
Attento, un'equazione a variabili separabili non è una lineare. E' possibile ricondurre un'equazione lineare alla forma
\(\displaystyle y' + a(x)y(x) = f(x) \)
Al contrario nel tuo caso è possibile ricondurre l'equazione ad alla forma:
\(\displaystyle y'=a(x)b(y) \) che appunto è detta equazione a variabili separabili.
Quindi dette \(\displaystyle A(x) \) e\(\displaystyle B(y) \) le primitive di \(\displaystyle a(x) \) e \(\displaystyle 1/b(y) \) la soluzione \(\displaystyle y \) è data dall'uguaglianza \(\displaystyle B(y) = A(x) + c \).
Isolando, se possibile, il termine y ottieni l'integrale generale della tua equazione.
Nel tuo caso \(\displaystyle a(x) = - x/(e^x) \) e \(\displaystyle b(y) = 1/(e^y) \)
Prima di determinare l'integrale generale devi valutare l'esistenza di soluzioni costanti e la stabilità delle soluzioni. In particolare esistono soluzioni costanti (che hanno la forma di rette orizzontali) se \(\displaystyle b(y)=0 \) che ovviamente non è il nostro caso. Inoltre puoi garantire, grazie ad un apposito teorema che si dimostra per le equazioni a variabili separabili, che la soluzione particolare data dall'integrale generale è unica perché \(\displaystyle b(y) \) è continua e derivabile su tutto R e \(\displaystyle a(x) \) è continua anch'essa su tutto R (quindi, nella fattispecie, nel punto iniziale (0,0) che è quello che ci interessa).
Mi scuso ma non ho ancora molta dimestichezza con l'editor
\(\displaystyle y' + a(x)y(x) = f(x) \)
Al contrario nel tuo caso è possibile ricondurre l'equazione ad alla forma:
\(\displaystyle y'=a(x)b(y) \) che appunto è detta equazione a variabili separabili.
Quindi dette \(\displaystyle A(x) \) e\(\displaystyle B(y) \) le primitive di \(\displaystyle a(x) \) e \(\displaystyle 1/b(y) \) la soluzione \(\displaystyle y \) è data dall'uguaglianza \(\displaystyle B(y) = A(x) + c \).
Isolando, se possibile, il termine y ottieni l'integrale generale della tua equazione.
Nel tuo caso \(\displaystyle a(x) = - x/(e^x) \) e \(\displaystyle b(y) = 1/(e^y) \)
Prima di determinare l'integrale generale devi valutare l'esistenza di soluzioni costanti e la stabilità delle soluzioni. In particolare esistono soluzioni costanti (che hanno la forma di rette orizzontali) se \(\displaystyle b(y)=0 \) che ovviamente non è il nostro caso. Inoltre puoi garantire, grazie ad un apposito teorema che si dimostra per le equazioni a variabili separabili, che la soluzione particolare data dall'integrale generale è unica perché \(\displaystyle b(y) \) è continua e derivabile su tutto R e \(\displaystyle a(x) \) è continua anch'essa su tutto R (quindi, nella fattispecie, nel punto iniziale (0,0) che è quello che ci interessa).
Mi scuso ma non ho ancora molta dimestichezza con l'editor
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