Problema di Cauchy

[Soter1]

Salve a tutti, c'è qualcuno che può darmi una mano con questo esercizio? Non riesco a trovare la strada per determinare la $ y(t) $!? Cioè, prima di determinare lo sviluppo di Taylor della stessa devo prima determinare la $ y(t) $, giusto?
Si consideri il seguente problema di Cauchy:
$ y'' = 4ty' + 4e^t;
y(0) = 1;
y'(0) = 2 $

Si determinino i primi 4 termini dello sviluppo di Taylor della soluzione nel punto t = 0. Grazie in anticipo a chiunque cercherà di aiutarmi

[Rigel1]

Non è strettamente necessario calcolare la soluzione del PdC.
Infatti, per determinare i primi quattro termini dello sviluppo di Taylor in \(0\) ti basta conoscere il valore di \(y(0)\) e delle prime quattro derivate di \(y\) in \(0\).
Sai già che \(y(0) = 1\) e \(y'(0) = 2\); inoltre, usando l'equazione, hai che
\[
y''(0) = 4\cdot 0\cdot y'(0) + 4 e^0 = 4.
\]
Per la derivata terza in \(0\) ti basta derivare l'equazione:
\[
y''' = (y'')' = (4ty'+4e^t)' = 4 y' + 4t y'' + 4 e^t
\]
e sostituire \(t = 0\). Dall'espressione ricavata sopra puoi poi procedere al calcolo della derivata quarta.

[Soter1]

Grazie mille, chiarissima spiegazione. Una domanda, ma la $ y(t) $ si sa trovare?

[Paolo902]

"Soter":Una domanda, ma la $ y(t) $ si sa trovare?

Forse sì, perché non compare esplicitamente $y$. Di conseguenza, puoi provare a porre $z=y^{\prime}$ e risolvere di conseguenza la ODE lineare del primo ordine (in $z$) che viene fuori. A quel punto, integri ancora una volta e hai $y$.

[gugo82]

Seguendo il suggerimento di Paolo90, riusciamo ad abbassare l'ordine della EDO introducendo la variabile ausiliaria \(u(t):=y^\prime (t)\): in tal modo il PdC assegnato si risolve risolvendo esplicitamente la coppia di problemi:
\[
\left\{ \begin{split} u^\prime (t) - 4t\ u(t) &= 4 e^t\\ u(0)&=2\end{split}\right. \qquad \text{e}\qquad \left\{ \begin{split} y^\prime (t) &= u(t)\\ y(0)&=1\end{split}\right. \; .
\]
Il secondo PdC si risolve banalmente per quadratura (a norma del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale):
\[
y(t) = 1+\int_0^t u(\tau)\ \text{d}\tau\; ,
\]
sicché basta risolvere il primo.

Moltiplicando m.a.m. la EDO per \(e^{-2t^2}\) si ottiene:
\[
e^{-2t^2}\ u^\prime (t) - 4t\ e^{-2t^2}\ u(t) = 4 e^{t-2t^2}\qquad \Leftrightarrow \qquad \left( e^{-2t^2}\ u(t) \right)^\prime = 4e^{t-2t^2}\; ,
\]
quindi il primo PdC è equivalente a:
\[
\left\{ \begin{split} \left( e^{-2t^2}\ u(t) \right)^\prime &= 4e^{t-2t^2} \\ u(0)&=2\end{split}\right.
\]
che si risolve per quadrature: infatti, per il TFCI troviamo:
\[
e^{-2t^2}\ u(t) = 2+\int_0^t \left( 4e^{\tau-2\tau^2} \right)\ \text{d} \tau
\]
e dunque:
\[
u(t) = 2e^{2t^2} + 4\ e^{2t^2}\ \int_0^t e^{\tau-2\tau^2}\ \text{d} \tau\; ,
\]
con l'ultimo integrale non calcolabile elementarmente. Invero, si ha:
\[
\begin{split}
\tau - 2 \tau^2 &= 2\sqrt{2}\ \tau\ \frac{1}{2\sqrt{2}} - 2\tau^2 \\
&= \frac{1}{8} - \left( \sqrt{2}\ \tau -\frac{1}{2\sqrt{2}} \right)^2\\
&=\frac{1}{8} - \left( \frac{4\tau - 1}{2\sqrt{2}} \right)^2
\end{split}
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
u(t) &= 2e^{2t^2} + 4\ e^{2t^2}\ \int_0^t \exp \left( \frac{1}{8} - \left( \frac{4\tau - 1}{2\sqrt{2}} \right)^2 \right) \ \text{d} \tau\\
&\stackrel{\theta = \frac{4\tau - 1}{2\sqrt{2}}}{=} 2e^{2t^2} + 2\sqrt{2}\ e^{2t^2 + \frac{1}{8}}\ \int_{-\frac{1}{2\sqrt{2}}}^{\frac{4t - 1}{2\sqrt{2}}} \exp \left( - \theta^2 \right) \ \text{d} \theta
\end{split}
\]
e l'ultimo integrale è di tipo gaussiano, dunque non esprimiblile elementarmente.

Sostituendo, la funzione \(y(t)\), soluzione del PdC originario, si scrive:
\[
\begin{split}
y(t) &= 1 + \int_0^t \left( 2e^{2\tau^2} + 2\sqrt{2}\ e^{2\tau^2 + \frac{1}{8}}\ \int_{-\frac{1}{2\sqrt{2}}}^{\frac{4\tau - 1}{2\sqrt{2}}} \exp \left( - \theta^2 \right) \ \text{d} \theta \right)\ \text{d}\tau\\
&= 1 + 2\ \int_0^t e^{2\tau^2}\ \text{d} \tau + 2\sqrt{2}\ \int_0^t e^{2\tau^2 + \frac{1}{8}}\ \left(\int_{-\frac{1}{2\sqrt{2}}}^{\frac{4\tau - 1}{2\sqrt{2}}} \exp \left( - \theta^2 \right) \ \text{d} \theta \right)\ \text{d}\tau
\end{split}
\]
e non si può esprimere elementarmente.