Problema di cauchy
Salve raga, qualcuno mi da una mano a capire come svolgere quest esercizio?
Ho il seguente problema di cauchy:
$ y'= sqrt(x+y+1) -1 $
$ y(0)=0 $
Non ho la minima idea di come procedere, sicuramente non con le variabili separabili ma come allora?
Ho il seguente problema di cauchy:
$ y'= sqrt(x+y+1) -1 $
$ y(0)=0 $
Non ho la minima idea di come procedere, sicuramente non con le variabili separabili ma come allora?
Risposte
Beh, un cambiamento furbo di variabile fa al caso tuo... 
Nota che, portando \(-1\) a sinistra dell'uguale, la tua EDO diviene:
\[
y^\prime (x)+1 = \sqrt{x+y(x)+1}\; ;
\]
ma è evidente che \(y^\prime (x)+1 = \big( x+y(x)+1\big)^\prime\), cosicché puoi riscrivere la EDO come:
\[
\big( x+y(x)+1\big)^\prime = \sqrt{x+y(x)+1}\; ;
\]
introducendo la variabile ausiliaria \(u(x):=x+y(x)+1\) nella EDO modificata, ottieni infine:
\[
u^\prime (x)=\sqrt{u(x)}
\]
che è a variabili separabili. D'altro canto, vista la sostituzione \(u(x)=x+y(x)+1\), la condizione iniziale del tuo PdC implica:
\[
u(0) = 0+y(0)+1=1\; .
\]
Conseguentemente, il PdC originario si trasforma in:
\[
\begin{cases} u^\prime (x)=\sqrt{u(x)} \\
u(0)=1
\end{cases}
\]
che si risolve facilmente.
Per determinare \(y(x)\), ovviamente, usi a ritroso il cambiamento di variabile, i.e. tieni presente che:
\[
y(x)=u(x)-x-1\; .
\]
Prova e facci sapere come viene l'esercizio.
Nota che, portando \(-1\) a sinistra dell'uguale, la tua EDO diviene:
\[
y^\prime (x)+1 = \sqrt{x+y(x)+1}\; ;
\]
ma è evidente che \(y^\prime (x)+1 = \big( x+y(x)+1\big)^\prime\), cosicché puoi riscrivere la EDO come:
\[
\big( x+y(x)+1\big)^\prime = \sqrt{x+y(x)+1}\; ;
\]
introducendo la variabile ausiliaria \(u(x):=x+y(x)+1\) nella EDO modificata, ottieni infine:
\[
u^\prime (x)=\sqrt{u(x)}
\]
che è a variabili separabili. D'altro canto, vista la sostituzione \(u(x)=x+y(x)+1\), la condizione iniziale del tuo PdC implica:
\[
u(0) = 0+y(0)+1=1\; .
\]
Conseguentemente, il PdC originario si trasforma in:
\[
\begin{cases} u^\prime (x)=\sqrt{u(x)} \\
u(0)=1
\end{cases}
\]
che si risolve facilmente.
Per determinare \(y(x)\), ovviamente, usi a ritroso il cambiamento di variabile, i.e. tieni presente che:
\[
y(x)=u(x)-x-1\; .
\]
Prova e facci sapere come viene l'esercizio.
Molto ingegnosa come soluzione, e sei stato molto chiaro adesso lo rifaccio e se ho qualche domanda la posto grazie mille!
Mi ritrovo come soluzione $u(x)= 2/3 u^(3/2) $ esatto?
Non vedo come sia possibile, dato che tale funzione non dipende da \(x\) e (pur ammettendo un errore di battitura) essa non soddisfa né l'equazione differenziale \(u^\prime =\sqrt{u}\) né la condizione iniziale del PdC ausiliario, \(u(0)=1\).
Fai bene i conti.
Fai bene i conti.
hai ragione ho detto una ca.....
Allora la risoluzione di $u'(x)= sqrt(u) $ si ottiene con le variabili separabili e viene:
$du/dx= sqrt(u)$
$1/sqrt(u) du= 1 dx$
$\int 1/sqrt(u) du = \int 1 dx$
$2sqrt(u) = x +C $
$ u(x)= (x^2)/2 + C $
Allora la risoluzione di $u'(x)= sqrt(u) $ si ottiene con le variabili separabili e viene:
$du/dx= sqrt(u)$
$1/sqrt(u) du= 1 dx$
$\int 1/sqrt(u) du = \int 1 dx$
$2sqrt(u) = x +C $
$ u(x)= (x^2)/2 + C $
Sbagliato l'ultimo passaggio.
si hai ragione viene anche $ ((x+C)^2)/2 $
Ora voglio proporre un esercizio molto simile:
$y'=sqrt(x+y) $
anche qui si va per sostituzione?
Ora voglio proporre un esercizio molto simile:
$y'=sqrt(x+y) $
anche qui si va per sostituzione?
"Seven90":
si hai ragione viene anche $ (C^2)/2 $
Ora voglio proporre un esercizio molto simile:
$y'=sqrt(x+y) $
anche qui si va per sostituzione?
Solo? Secondo me c'è un terzo addendo...
"ciampax":
[quote="Seven90"]si hai ragione viene anche $ (C^2)/2 $
Ora voglio proporre un esercizio molto simile:
$y'=sqrt(x+y) $
anche qui si va per sostituzione?
Solo? Secondo me c'è un terzo addendo...[/quote]
Ho corretto scusami era $ ((x+C)^2)/2 $ intendi questo per terzo addendo giusto?
No, intendevo che, se avessi sviluppato il quadrato di binomio (come sembrava avessi fatto) sarebbe dovuto venire fuori il doppio prodotto.
Si si scusami intendevo anche io dire la stessa cosa ovviamente sviluppando il quadrato escono 3 addendi! per quell'altro esercizio sai dirmi qualcosa?Ovviamente la stessa sostituzione non può essere applicata.
per quell'altro esercizio sai dirmi qualcosa?Ovviamente la stessa sostituzione non può essere applicata.
"Seven90":
si hai ragione viene anche $ ((x+C)^2)/2 $
Correct!
"Seven90":
Ora voglio proporre un esercizio molto simile:
$y'=sqrt(x+y) $
anche qui si va per sostituzione?
Beh, sì... Si può usare la stessa tattica di prima (avendo cura di sommare un \(1\) ad ambo i membri, per far tornare i conti).
Ci provo e posto lo svolgimento!;)
Mi scuso per il ritardo ieri non ho più potuto svolgere l'esercizio.
Allora partendo dall'equazione: $ y'(x) = sqrt(x+y(x)) $
Sommo 1 ad entrambe i memrbi e ottengo: $ y'(x)+1=sqrt(x+y(x))+1 $
Ora sostituisco $ u(x)=x+y(x) $ e ottengo $ u'(x)= sqrt(u(x)) +1 $
A questo punto mi vien da dire che è risolvibile come equazione di Bernoulli poiché del tipo: $y'(x)= a(x)y(x) + b(x)(y(x))^\alpha $
Quindi riscrivendo la nostra equazione come $u'(x) = u(x)^(1/2) +1 $
Divido entrambe i membri per $u(x)^(1/2)$ ottengo: $u'(x) u(x)^(-1/2)=1 $
Pongo $z(x)=u(x)^1/2$ per cui $z'(x)=1/2 u'(x) u(x)^(-1/2)$ e di conseguenza riscrivo il primo membro come $2z(x)$
ho da risolvere quindi la seguente equazione: $2z'(x)=1$ che è $z'(x)=1/2$ che risolvo integrando entrambe i membri ottenendo $z(x)=x/2+C$ facendo poi le sostituzioni a ritroso $u(x)^(1/2)=x/2$ => $u(x)=x^2/4 $ => $u'(x) +1/(sqrt(x^2/4))=1$ => $u'(x)=x/2$ => $u(x)=x^2/4 +C$ =>$y(x)=x^2/4 -x +C $
E' tutto esatto?
Allora partendo dall'equazione: $ y'(x) = sqrt(x+y(x)) $
Sommo 1 ad entrambe i memrbi e ottengo: $ y'(x)+1=sqrt(x+y(x))+1 $
Ora sostituisco $ u(x)=x+y(x) $ e ottengo $ u'(x)= sqrt(u(x)) +1 $
A questo punto mi vien da dire che è risolvibile come equazione di Bernoulli poiché del tipo: $y'(x)= a(x)y(x) + b(x)(y(x))^\alpha $
Quindi riscrivendo la nostra equazione come $u'(x) = u(x)^(1/2) +1 $
Divido entrambe i membri per $u(x)^(1/2)$ ottengo: $u'(x) u(x)^(-1/2)=1 $
Pongo $z(x)=u(x)^1/2$ per cui $z'(x)=1/2 u'(x) u(x)^(-1/2)$ e di conseguenza riscrivo il primo membro come $2z(x)$
ho da risolvere quindi la seguente equazione: $2z'(x)=1$ che è $z'(x)=1/2$ che risolvo integrando entrambe i membri ottenendo $z(x)=x/2+C$ facendo poi le sostituzioni a ritroso $u(x)^(1/2)=x/2$ => $u(x)=x^2/4 $ => $u'(x) +1/(sqrt(x^2/4))=1$ => $u'(x)=x/2$ => $u(x)=x^2/4 +C$ =>$y(x)=x^2/4 -x +C $
E' tutto esatto?
Ha sbagliato tutti i conti, dato che sbagli a dividere per \(\sqrt{u}\).
La EDO ausiliaria è a variabili separabili e si risolve come tale.
La EDO ausiliaria è a variabili separabili e si risolve come tale.
Mi scuso per aver risposto così in ritardo ma ho avuto problemi con il pc. Comunque si l'ho risolta come mi hai detto tu come equazione a variabili separabili
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