Problema di Cauchy
Ho il problema di Cauchy $\{(y'=1/(x^2+y^2)),(y(0)=y_0!=0):}$ e vorrei stabilire se la soluzione esiste ed è unica almeno localmente in un intorno di $0$.
La prima cosa che mi è venuta in mente per provare a prendere due piccioni con una fava e cioè di provare a verificare se $f(x,y)=1/(x^2+y^2)$ è localmente lipschitziana in $y$ per poter applicare il teorema di esistenza e unicità locale.
Ho dunque osservato che $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|1/(x^2+(y_1)^2)-1/(x^2+(y_2)^2)|=$
$=|((y_2)^2-(y_1)^2)/((x^2+(y_1)^2)*(x^2+(y_2)^2))|<=|(y_1+y_2)/(y_1y_2)^2|*|y_2-y_1|$.
Ora riesco a maggiorare $|(y_1+y_2)/(y_1y_2)^2|$ con una costante per ogni intorno ogni di $(0,y_0)$? Perchè in tal caso il gioco sarebbe fatto.
La prima cosa che mi è venuta in mente per provare a prendere due piccioni con una fava e cioè di provare a verificare se $f(x,y)=1/(x^2+y^2)$ è localmente lipschitziana in $y$ per poter applicare il teorema di esistenza e unicità locale.
Ho dunque osservato che $|f(x,y_1)-f(x,y_2)|=|1/(x^2+(y_1)^2)-1/(x^2+(y_2)^2)|=$
$=|((y_2)^2-(y_1)^2)/((x^2+(y_1)^2)*(x^2+(y_2)^2))|<=|(y_1+y_2)/(y_1y_2)^2|*|y_2-y_1|$.
Ora riesco a maggiorare $|(y_1+y_2)/(y_1y_2)^2|$ con una costante per ogni intorno ogni di $(0,y_0)$? Perchè in tal caso il gioco sarebbe fatto.
Risposte
Provo con una strategia alternativa: essendo $(\delf)/(\dely)(x,y)=-2y/(x^2+y^2)^2$ continua in un intorno sufficientemente piccolo di $(0,y_0)$ (ad esempio nella palla di centro $(0,y_0)$ e raggio $y_0/2$) si ha che $f$ è localmente lipschitziana in y e dunque posso applicare il teorema in questione e concludere che si ha esistenza e unicità locale, giusto?
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