Problema di Cauchy
Innanzitutto buona serata a tutti!!
Ho il seguente problema di Cauchy da risolvere:
[tex]\begin{cases} y^\prime = -\frac{3x^2}{1+x^3} y + \frac{1}{1+x}\\ y(0) = 1 \end{cases}[/tex]
Per la teoria delle equazioni differenziali lineari del primo ordine si ha che la soluzione è della forma:
[tex]y(x) = e^{\int p(x) dx}(C+\int q(x) e^{\int p(t)dt} dx)[/tex]
con, in riferimento al caso specifico, [tex]p(x) = -\frac{3x^2}{1+x^3}[/tex] e [tex]q(x) = \frac{1}{1+x}[/tex] definite e continue entrambe in [tex](-\infty ; -1) \cup (-1 ; +\infty)[/tex].
Dato ciò proseguendo nell'integrazione ottengo:
[tex]y(x) = \frac{1}{1+x^3}(C + x -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3})[/tex] e grazie alla condizione iniziale del problema di Cauchy [tex]y(0) = 1[/tex] ricavo [tex]C = 1[/tex].
Da ciò mettendo la costante ricavata nell'integrale generale segue come soluzione
[tex]\overline{y(x)} = \frac{1}{1+x^3}(1 + x -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}) \Rightarrow \overline{y(x)} = \frac{2x^3 + 3x^2 + 6x + 6}{6(1+x^3)}[/tex] con intervallo di definizione [tex]I_{0} = (-1 ; +\infty)[/tex].
Ora vi chiedo è giusta la risoluzione? E' corretto l'intervallo di definizione relativo alla soluzione da me trovata per questo problema di Cauchy?
Grazie in anticipo ed ancora buona serata!!
Ho il seguente problema di Cauchy da risolvere:
[tex]\begin{cases} y^\prime = -\frac{3x^2}{1+x^3} y + \frac{1}{1+x}\\ y(0) = 1 \end{cases}[/tex]
Per la teoria delle equazioni differenziali lineari del primo ordine si ha che la soluzione è della forma:
[tex]y(x) = e^{\int p(x) dx}(C+\int q(x) e^{\int p(t)dt} dx)[/tex]
con, in riferimento al caso specifico, [tex]p(x) = -\frac{3x^2}{1+x^3}[/tex] e [tex]q(x) = \frac{1}{1+x}[/tex] definite e continue entrambe in [tex](-\infty ; -1) \cup (-1 ; +\infty)[/tex].
Dato ciò proseguendo nell'integrazione ottengo:
[tex]y(x) = \frac{1}{1+x^3}(C + x -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3})[/tex] e grazie alla condizione iniziale del problema di Cauchy [tex]y(0) = 1[/tex] ricavo [tex]C = 1[/tex].
Da ciò mettendo la costante ricavata nell'integrale generale segue come soluzione
[tex]\overline{y(x)} = \frac{1}{1+x^3}(1 + x -\frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3}) \Rightarrow \overline{y(x)} = \frac{2x^3 + 3x^2 + 6x + 6}{6(1+x^3)}[/tex] con intervallo di definizione [tex]I_{0} = (-1 ; +\infty)[/tex].
Ora vi chiedo è giusta la risoluzione? E' corretto l'intervallo di definizione relativo alla soluzione da me trovata per questo problema di Cauchy?
Grazie in anticipo ed ancora buona serata!!
Risposte
Non ho controllato gli integrali, ma la procedura è corretta. L'intervallo \( I_0 \) è massimale.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo