Problema di Cauchy

[gbspeedy]

ho il (PC) $ { ( x'=1+cosx+t^2 ),( x(0)=0 ):} $

ho verificato che ammette un'unica soluzione $phi$ in $R$.Devo mostrare che è dispari.

$phi(t)=-phi(-t)$ se è dispari

chiamo $psi(t)=-phi(-t)$

$psi(0)=0$ è soddisfatta la condizione iniziale

devo porre:

$(psi(t))'=1+cos(psi(t))+t^2$?

[Paolo902]

In questi casi, conviene ragionare per unicità. Infatti, il secondo membro della tua equazione è chiaramente $C^1$ in un intorno di $(0,0)$ e questo basta a garantire esistenza e unicità locale. D'altra parte, è pure sublineare in $x$ sicché la soluzione è globalmente definita per il teorema di esistenza e unicità in grande.

Adesso, detta $\phi: \RR \to RR$ la soluzione di (PC), poni $\psi(t):=-\phi(-t)$. Ovviamente $\psi(0)=-\phi(0)=0$; chi è invece $\psi'(t)$? A te il semplice calcolo (ricorda la regola per derivare una funzione composta). A questo punto, per unicità, concludi che $psi(t) = \phi(t)$ per ogni $t \in \RR$, cioè...