Problema di Cauchy

[Brancaleone1]

Ciao a tutti

Avrei bisogno di una conferma sul risultato di questo problema di Cauchy: verificando al calcolatore ottengo un risultato inatteso.

${ ( y'(x)=(x+2)sqrt(1-y^2(x)) ),( y(0)=0 ):}$

Essendo alle variabili separabili, svolgo così:

$int_0^y 1/(sqrt(1-u^2))du=int_0^x(t+2)dt$

$[arcsin(u)]_0^y=[t^2/2+2t]_0^x$

$arcsin(y)=x^2/2+2x$

$=>y=sin(x^2/2+2x)$

Il calcolatore invece riporta

$y = 1-2 sin^2(1/4 (-2 i c_1+x^2+4 x))$

che trascurando la parte complessa corrisponde a

$y = 1-2 sin^2(1/4 (x^2+4 x))$

che equivale a

$y=cos(x^2/2+2x)$

Dove sto sbagliando?

[Obidream]

Ciao, effettivamente anche a me wolfram sembra sotto l'effetto di strane sostanze perché se gli diamo il problema di Cauchy otteniamo:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=y% ... 280%29%3D0
che credo sia il risultato che tornerebbe anche a te.

$y=+-1$ sono le soluzioni costanti, quindi ora posso procedere ad integrare:

$int 1/sqrt(1-y^2)dy=int (x+2)dx$

$arcsin(y)=(x+2)^2/2+c$

Ricordando che $(x+2)^2/2+c$ deve stare in $[-pi/2,pi/2]$ posso procedere ricavando la $y$:

$y(x)=sin(1/2(x^2+4x+2c))$


Ora imponendo $y(0)=0$ dovresti ottenere $sin(c)=0$ da cui $c=k\pi$ con $k in ZZ$( scelgo $c=0$) e quindi la soluzione al P.C è $y(x)=sin(1/2(x^2+4x))$, oppure $y(x)=sin(x/2(x+4))$ che è la stessa di Wolfram... ed anche la tua

[Brancaleone1]

Ok grazie
Probabilmente la colpa è mia: non sapendo come inserire correttamente l'input, m'è venuta fuori http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%27%28x%29%3D%28x%2B2%29*sqrt%281-y^2%29+as+y%280%29%3D0].

Grazie ancora