Problema di Cauchy 1° Ordine non lineare
Buongiorno, trascrivo il testo dell'esercizio ed il mio svolgimento, che però non sono sicuro sia rigoroso.
\(\displaystyle \begin{cases} xy' + y = y^2 \\ y(1)=2 \alpha \end{cases} \)
Ammette soluzione su $I = ]0, + infty [$ se e solo se:
A. \(\displaystyle \alpha \in ] 0, 1/2 [ \)
B. \(\displaystyle \alpha \in [ 0, 1/2 ] \)
C. \(\displaystyle \alpha \in ] 0, 1/2 ] \)
D. Nessuna delle precedenti
La risposta che ho dato è la D.
Ho risolto l'equazione vedendola come a variabili separabili e per cui ho trovato:
$ln|(y-1)/y|=lnx+c$
Ho subito inserito la condizione iniziale da cui \(\displaystyle \ln| \frac{(2 \alpha-1)}{(2\alpha)}|=c \)
Che mi permette di fare lo studio dei segni $ (2 alpha-1)/(2alpha) > 0 \Rightarrow alpha < 0 \cup alpha > 1/2$
Ed ho finito perchè ho già escluso A, B e C.
Potreste confermarmi? O correggermi, in caso io mi sia sbagliato. Grazie!
\(\displaystyle \begin{cases} xy' + y = y^2 \\ y(1)=2 \alpha \end{cases} \)
Ammette soluzione su $I = ]0, + infty [$ se e solo se:
A. \(\displaystyle \alpha \in ] 0, 1/2 [ \)
B. \(\displaystyle \alpha \in [ 0, 1/2 ] \)
C. \(\displaystyle \alpha \in ] 0, 1/2 ] \)
D. Nessuna delle precedenti
La risposta che ho dato è la D.
Ho risolto l'equazione vedendola come a variabili separabili e per cui ho trovato:
$ln|(y-1)/y|=lnx+c$
Ho subito inserito la condizione iniziale da cui \(\displaystyle \ln| \frac{(2 \alpha-1)}{(2\alpha)}|=c \)
Che mi permette di fare lo studio dei segni $ (2 alpha-1)/(2alpha) > 0 \Rightarrow alpha < 0 \cup alpha > 1/2$
Ed ho finito perchè ho già escluso A, B e C.
Potreste confermarmi? O correggermi, in caso io mi sia sbagliato. Grazie!
Risposte
Mi risulta
$alpha = 0$ ovvero $y(1) = 0$ da cui la soluzione costante $y(x) = 0$ definita in I
$alpha = 1/2$ ovvero $y(1)=1$ da cui la soluzione costante $y(x) = 1$ definita in I
$alpha ∈ (0,1/2)$ la soluzione, elaborando quanto da te trovato (nel modulo assumi che 0
che è definita in I in quanto $(1-2alpha)/(2 alpha)>0$
(*) Questo perchè $y'(1) = 2 alpha(-1+2alpha)<0$ e quindi parte da $2alpha<1$ e tende a diminuire)
Quindi sarei propenso per la risposta B.
$alpha = 0$ ovvero $y(1) = 0$ da cui la soluzione costante $y(x) = 0$ definita in I
$alpha = 1/2$ ovvero $y(1)=1$ da cui la soluzione costante $y(x) = 1$ definita in I
$alpha ∈ (0,1/2)$ la soluzione, elaborando quanto da te trovato (nel modulo assumi che 0
che è definita in I in quanto $(1-2alpha)/(2 alpha)>0$
(*) Questo perchè $y'(1) = 2 alpha(-1+2alpha)<0$ e quindi parte da $2alpha<1$ e tende a diminuire)
Quindi sarei propenso per la risposta B.
Osservando la tua risposta, e sapendo ora che dal testo la risposta corretta è la D, sono ancora più confuso di prima, non saprei nemmeno perché prima la risposta D ha senso vista la mia risoluzione, dato anche che ho posto $>0$ una quantità posta all'interno di un valore assoluto!
Non saprei dirti.
Potrebbe essere che la motivazione della risposta D sia più formale, nel senso che la soluzione comunque è relativa ad una condizione iniziale in x=1 e che quindi l'evoluzione si suppone avvenire solo per x>1, pertanto non in I e quindi nessuna delle risposte va bene.
Oppure che la I vada intesa come codominio e non come dominio. In questo caso siccome y è limitata tra 0 e 1 le risposte non vanno bene.
Oppure c'è qualcosa che ci sfugge.
Vediamo comunque se qualcuno del Forum interviene con una buona spiegazione.
Potrebbe essere che la motivazione della risposta D sia più formale, nel senso che la soluzione comunque è relativa ad una condizione iniziale in x=1 e che quindi l'evoluzione si suppone avvenire solo per x>1, pertanto non in I e quindi nessuna delle risposte va bene.
Oppure che la I vada intesa come codominio e non come dominio. In questo caso siccome y è limitata tra 0 e 1 le risposte non vanno bene.
Oppure c'è qualcosa che ci sfugge.
Vediamo comunque se qualcuno del Forum interviene con una buona spiegazione.
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