Problema di calcolo delle variazioni
Il problema è:
min $ int_(3)^(5) [ ( x - dot(x) )^2 + x^2 ] * e^-{ t / 2 } dt $ con x(0)=4, x(5)=0
La soluzione c'è e la trovo: uso l'equazione di Eulero e verifico che la funzione sia convessa (rispetto a x e x'). Lo è (è strettamente convessa), quindi nessun problema.
Poi però mi si chiede di mostrare perchè il problema di massimizzazione non può essere risolto.
Penso: l'equazione di Eulero mi da la condizione necessaria, dato che la funzione è convessa e quindi la soluzione trovata è un massimo non può essere anche un minimo.
Ma sento che posso fare di meglio, tipo mostrando come la funzione vada ad infinito se si cerca il massimo o qualcosa del genere.
Qualcuno ha idea di come posso fare operativamente?
min $ int_(3)^(5) [ ( x - dot(x) )^2 + x^2 ] * e^-{ t / 2 } dt $ con x(0)=4, x(5)=0
La soluzione c'è e la trovo: uso l'equazione di Eulero e verifico che la funzione sia convessa (rispetto a x e x'). Lo è (è strettamente convessa), quindi nessun problema.
Poi però mi si chiede di mostrare perchè il problema di massimizzazione non può essere risolto.
Penso: l'equazione di Eulero mi da la condizione necessaria, dato che la funzione è convessa e quindi la soluzione trovata è un massimo non può essere anche un minimo.
Ma sento che posso fare di meglio, tipo mostrando come la funzione vada ad infinito se si cerca il massimo o qualcosa del genere.
Qualcuno ha idea di come posso fare operativamente?
Risposte
Beh, si vede subito che l'integrale può essere reso grande a piacere prendendo funzioni "grandi"; in altre parole, se prendi $x_n$ una funzione $C^1$ che sia $\ge n$ su un intervallo di ampiezza $1$ (cosa ovviamente sempre possibile), hai che
\( F(x_n) \geq \int_3^5 x^2 e^{-5/2} dt \geq n^2 e^{5/2}. \)
(Ovviamente, con un po' di pazienza, puoi anche trovare una successione esplicita di funzioni che facciano un lavoro di questo tipo.)
\( F(x_n) \geq \int_3^5 x^2 e^{-5/2} dt \geq n^2 e^{5/2}. \)
(Ovviamente, con un po' di pazienza, puoi anche trovare una successione esplicita di funzioni che facciano un lavoro di questo tipo.)
Grazie tante per la risposta.
Non capisco :
a) perchè intervallo di ampiezza 1
b) che sostituzione fai nell'integrale per renderlo così: vedo che sostituisci t con 5 quindi immagino che tu abbia usato una delle 2 condizioni, ma come come ti viene x^2? e l'altra condizione non viene usata?
So che mi mancano un po' di basi, abbi pazienza e grazie ancora.
Non capisco :
a) perchè intervallo di ampiezza 1
b) che sostituzione fai nell'integrale per renderlo così: vedo che sostituisci t con 5 quindi immagino che tu abbia usato una delle 2 condizioni, ma come come ti viene x^2? e l'altra condizione non viene usata?
So che mi mancano un po' di basi, abbi pazienza e grazie ancora.
"randomwalk":
a) perchè intervallo di ampiezza 1
b) che sostituzione fai nell'integrale per renderlo così: vedo che sostituisci t con 5 quindi immagino che tu abbia usato una delle 2 condizioni, ma come come ti viene x^2? e l'altra condizione non viene usata?
a) Hai bisogno che l'integrale di $x_n^2$ sia "grande"; un modo (ce ne sono infiniti...) per garantirlo è che $x_n > n$ su un intervallo di ampiezza che non vada a $0$ con $n$. Visto che l'intervallo di integrazione ha ampiezza $2$, basta prendere un qualsiasi intervallo di ampiezza minore.
b) La funzione integranda è $f(t, x, \dot{x}) = (x-\dot{x})^2 e^{-t/2} + x^2 e^{-t/2}$. Poiché vogliamo minorare, per farla facile buttiamo via il primo pezzo (che è positivo) e nel secondo minoriamo $e^{-t/2} \ge e^{-5/2}$ per $t\in [3,5]$; questa seconda minorazione non è in realtà necessaria, ma visto che non costa niente...
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