Problema determinazione punti di accumulazione
Scusate, devo occuparmi di determinare i punti di accumulazione di due insiemi.
Il primo l'ho risolto ed era il seguente:
A={x appartiene a R [1-c0s(2pgrec/x)]/x^2-3x+2 il tutto
Quello che non riesco a fare è il seguente:
B= {sin (((n^2-1)/pgreco)/2 + [(-1)^n/]n : n appartenente a N+}
Qualcuno mi può mostrare per favore come si risolve? (Se magari riesce anche nel mentre a spiegarmi il perché dei vari passaggi... Ovviamente non voglio essere di troppo disturbo
).
Abbiate pietà della dicitura, ma sono nuovo e faccio fatica nel riuscire a scrivere diversamente. Se non riuscite a capire ditemelo.
Grazie a chi mi darà una mano.
Il primo l'ho risolto ed era il seguente:
A={x appartiene a R [1-c0s(2pgrec/x)]/x^2-3x+2 il tutto
Quello che non riesco a fare è il seguente:
B= {sin (((n^2-1)/pgreco)/2 + [(-1)^n/]n : n appartenente a N+}
Qualcuno mi può mostrare per favore come si risolve? (Se magari riesce anche nel mentre a spiegarmi il perché dei vari passaggi... Ovviamente non voglio essere di troppo disturbo
).Abbiate pietà della dicitura, ma sono nuovo e faccio fatica nel riuscire a scrivere diversamente. Se non riuscite a capire ditemelo.
Grazie a chi mi darà una mano.
Risposte
Il secondo è facile se dividi gli $n$ pari da quelli dispari.
Per $n$ pari $n^2=2k$, per ogni $k\geq 0$ intero, è pari quindi hai
$sin(k \pi)+1/n=1/n$, hai che 0 è un punto di accomulazione.
Se consideri i dispari hai $n^2=(2k+1)$
$sin(k/2 \pi)-1/n=1-1/n$, qui 1 è di accomulazione.
Quindi i punti che cerchi sono 0 e 1
Per $n$ pari $n^2=2k$, per ogni $k\geq 0$ intero, è pari quindi hai
$sin(k \pi)+1/n=1/n$, hai che 0 è un punto di accomulazione.
Se consideri i dispari hai $n^2=(2k+1)$
$sin(k/2 \pi)-1/n=1-1/n$, qui 1 è di accomulazione.
Quindi i punti che cerchi sono 0 e 1
Non so se ho ben capito... puoi mica spiegarmi il perché di tali passaggi? Altrimenti non importa.
A parte il fatto che ho sbagliato a leggere la formula quindi il risultato non so se è giuto, faccio tutto passo passo così ricontrollo bene
Allora tu stai considerando l'insieme dei punti $B=\{ \sin(\frac{(n^2-1)\pi}{2})+{(-1)^n}/n , n \in \mathbb{N}^+}$.
Adesso consideriamo gli $n$ pari.
Posso scrivere $n=2k$ con $k\in \mathbb{N}^+$, tanto lo considero pari, allora $n^2=4k^2=2g$, è ancora un numero pari con $g\in \mathbb{N}^+$. Perciò il tuo insieme diventa
$B_p=\{ \sin(\frac{(4k^2-1)\pi}{2})+1/{2k} , k \in \mathbb{N}^+}$, infatti $(-1)^{2g}=1^g=1$
Adesso $4k^2-1$ è dispari, quindi ho che l'argomento del seno diventa $\sin(2\pi k^2 -\pi/2)$, usando la formula di addizione del seno trovo $\sin(2\pi k^2 -\pi/2)=-\sin(\pi/2)=-1$, quindi hai che
$B_p=\{1/{2k} -1, k \in \mathbb{N}^+}$, quindi $-1$ è di accumulazione, infatti per ogni intorno di $-1$ trovo sempre infiniti elementi del mio insieme.
Consideriamo i dispari.
$n=2k+1$, quindi $n^2=4k^2+2k+1$ è ancora dispari, sostituiamo nel mio insieme e trovo
$B_d=\{ \sin((2k^2+k)\pi)-1/{2k+1} , k \in \mathbb{N}^+}$
Qui l'argomento del seno sono multipli interi si $\pi$, quindi fa sempre $0$, allora il tutto si riduce a
$B_d=\{ -1/{2k+1} , k \in \mathbb{N}^+}$, da cui si vede subito che $0$ è un punto di accumulazione
Allora tu stai considerando l'insieme dei punti $B=\{ \sin(\frac{(n^2-1)\pi}{2})+{(-1)^n}/n , n \in \mathbb{N}^+}$.
Adesso consideriamo gli $n$ pari.
Posso scrivere $n=2k$ con $k\in \mathbb{N}^+$, tanto lo considero pari, allora $n^2=4k^2=2g$, è ancora un numero pari con $g\in \mathbb{N}^+$. Perciò il tuo insieme diventa
$B_p=\{ \sin(\frac{(4k^2-1)\pi}{2})+1/{2k} , k \in \mathbb{N}^+}$, infatti $(-1)^{2g}=1^g=1$
Adesso $4k^2-1$ è dispari, quindi ho che l'argomento del seno diventa $\sin(2\pi k^2 -\pi/2)$, usando la formula di addizione del seno trovo $\sin(2\pi k^2 -\pi/2)=-\sin(\pi/2)=-1$, quindi hai che
$B_p=\{1/{2k} -1, k \in \mathbb{N}^+}$, quindi $-1$ è di accumulazione, infatti per ogni intorno di $-1$ trovo sempre infiniti elementi del mio insieme.
Consideriamo i dispari.
$n=2k+1$, quindi $n^2=4k^2+2k+1$ è ancora dispari, sostituiamo nel mio insieme e trovo
$B_d=\{ \sin((2k^2+k)\pi)-1/{2k+1} , k \in \mathbb{N}^+}$
Qui l'argomento del seno sono multipli interi si $\pi$, quindi fa sempre $0$, allora il tutto si riduce a
$B_d=\{ -1/{2k+1} , k \in \mathbb{N}^+}$, da cui si vede subito che $0$ è un punto di accumulazione
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