Problema derivate parziali
L'argomento è di geometria differenziale, ma credo che il dubbio sia di natura strettamente analitica quindi posto qui. Nel caso la sezione sia sbagliata me ne scuso.
Voglio provare che la stazionarità di una funzione è indipendente dalla carta locale scelta.
Sia quindi $f:A \to RR$ una applicazione differenziabile in $p$ e siano $(U,phi),(U',phi')$ due carte ammissibili in $p$ di coordinate locali risp. $(x^1,...,x^n),(x'^1,...,x'^n)$.
Considero le seguenti applicazioni $F=f|_(A nn U) \circ (phi^(-1)|_(phi(A nn U)))$ ed $F'=f'|_(A nn U') \circ (phi'^(-1)|_(phi(A nn U')))$ e sia $W=A nn U nn U'$.
Si ha pertanto $F'|_(phi(W))=F|_(phi(W)) circ (phi|_W) \circ (phi'^(-1)|_(phi'(W)))$.
Chiamo $h=(phi|_W) \circ (phi'^(-1)|_(phi'(W)))$.
Allora $(df)/(dx'^i)(p)=(dF')/(dy'^i)(phi'(p))=(dF)/(dy^j)(phi(p)) (dh^j)/(dy^i)(phi'(p))$. Quest'ultima uguaglianza però non riesco a capirla. Qualcuno mi aiuta?
PS Tutte le applicazioni vanno opportunamente ridotte, ma il simbolo # mi sballa il codice perdonatemi!
Voglio provare che la stazionarità di una funzione è indipendente dalla carta locale scelta.
Sia quindi $f:A \to RR$ una applicazione differenziabile in $p$ e siano $(U,phi),(U',phi')$ due carte ammissibili in $p$ di coordinate locali risp. $(x^1,...,x^n),(x'^1,...,x'^n)$.
Considero le seguenti applicazioni $F=f|_(A nn U) \circ (phi^(-1)|_(phi(A nn U)))$ ed $F'=f'|_(A nn U') \circ (phi'^(-1)|_(phi(A nn U')))$ e sia $W=A nn U nn U'$.
Si ha pertanto $F'|_(phi(W))=F|_(phi(W)) circ (phi|_W) \circ (phi'^(-1)|_(phi'(W)))$.
Chiamo $h=(phi|_W) \circ (phi'^(-1)|_(phi'(W)))$.
Allora $(df)/(dx'^i)(p)=(dF')/(dy'^i)(phi'(p))=(dF)/(dy^j)(phi(p)) (dh^j)/(dy^i)(phi'(p))$. Quest'ultima uguaglianza però non riesco a capirla. Qualcuno mi aiuta?
PS Tutte le applicazioni vanno opportunamente ridotte, ma il simbolo # mi sballa il codice perdonatemi!
Risposte
E' una applicazione della chain rule: $F'=F\circ h$ e inoltre, restringendoti ad $A\cap U$, passi da coordinate $y'_i$ a $y_i$. La derivazione rispetto ad $h$ va fatta però rispetto alle variabili $y_i'$.
Grazie ciampax. Il dubbio era proprio sul perché applicando la regola della catena io derivassi il primo fattore per le $y^i$ e non per le $y'^i$. Questo però credo derivi dalla costruzione della $F$
La $F$ dipende dalle variabili senza l'apice. E' la funzione $h$ a dipendere da quelle, visto che è definita su $\phi'(W)$. Per questi esercizi ti consiglio di scriverti i diagrammi delle applicazioni.
Perfetto. Grazie mille
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